Anfangwertprobleme Allgemeine Lösung und Anfangsbedingung

Question

Aufgabe:

\( \dot{x}=A \boldsymbol{x}, A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \)
(i) Man gebe die Eigenwerte und Eigenvektoren von \( A \) an.
\( \begin{aligned} \operatorname{det}(A-\lambda I)= & \left|\begin{array}{cc} 1-\lambda & 2 \\ 0 & 1-\lambda \end{array}\right| \\ & (1-\lambda) \cdot(1-\lambda)-0 \\ = & 1-\lambda-\lambda+\lambda^{2} \\ = & \lambda^{2}-2 \lambda+1 \\ & \lambda_{1,2}=1 \end{aligned} \)

Vektoren=   \( V=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \)
(ii) Man gebe die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems an.


(iii) Sei \( x(0)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \). Man gebe die Lösung zu dieser Anfangsbedingung an.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen!

Erster Unterpunkt von der Frage hab ich schon gelöst aber diese beiden kann ich nicht hinkriegen. Wisst ihr, wie man da eigentlich vorgehen soll ?

Danke!

Answer 1

Hallo,

Da Du einen doppelten Eigenwert hast, der stimmt , benötigt Du noch einen Hauptvektor.

Dein Eigenvektor stimmt.

(A -νE) ν₁ = ν

\( \begin{array}{c}\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \\ 2 x_{2}=1 \\ x_{2}=\frac{1}{2} ; x_{1}=0 \\ v_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 / 2\end{array}\right)\end{array} \)

allgemeine Lösung:

\( x=C_{1} e^{t}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+C_{2} e^{t}\left(t\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0 \\ \frac{1}{2}\end{array}\right)\right) \)

Bei iii) setzt Du die Anfangsbedingung in die Lösung ein.

Ich habe erhalten:

x₁=\( e^{x} \)

x₂=0

Comments

Ich danke dir aber ich habe es nicht ganz verstanden. Wie bist auf ((0), (1/2)) gekommen ?

---

Ich habe die Matrix von der Berechnung der Eigenvektoren genommen

\( \left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right) \)

und gleich dem Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\0\\ \end{pmatrix} \) gesetzt.

Dann habe ich 2 Gleichungen und daraus x1 und x2 berechnet.