Zeigen, dass Funktion mindestens zwei Nullstellen besitzt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion

 \(f(x) = 2\sqrt{x} - x - \sin(\pi x) - \frac{1}{2}\) für \(x \geq 0\)

mindestens zwei Nullstellen besitzt.

Problem/Ansatz:

Haben die ganze Zeit hin und her gerechnet aber ich schaffe es irgendwie nicht wie man diese Nullstellen Herausfinden kann.

Ich habe die Funktion auf geogebra eingegeben und man sieht vier nullstellen

Aber ich schaffe es nicht diese Nullstellen zu finden.

Als ich es auf Wolfram alpha eingegeben habe kamen diese rechenschritte raus

\(2\sqrt{x}= x + \sin(\pi x) + \frac{1}{2}\)

\(x - 2\sqrt{x} + \sin(\pi x)= -\frac{1}{2}\)

\(-x + 2\sqrt{x} - \frac{1}{2}i e^{-i\pi x} + \frac{1}{2}i e^{i\pi x} - \frac{1}{2} = 0\)

Aber ich verstehe wiederum nicht wie man zu dieser e funktio gekommen ist.

(Die Nullstellen sind:

x ₁ ≈ 0.836

x₂ ≈ 2.096

x₃ ≈ 3.013

x₄ ≈ 3.858 )

Kann wer helfen?

Comments

Nach Aufgabenstellung brauchst Du die Nullstellen nicht finden, sondern nur Ihre Existenz nachweisen. Benutze den Zwischenwertsatz. Was ist z.B f(0),f,(1)? Was folgt.....

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Achso, ich dachte ich muss die Nullstellen berechnen. Aber ok, dann ist es einfacher. Danke!

Aber ist es trotzdem möglich diese Aufgabe also mit Nullstellen zu berechnen?

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Die Nullstellen lassen sich wohl nur näherungsweise bestimmen.

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Algebraisch kann man nicht nach x umstellen, weil unter der Wurzel und im sin-Argument.

Answer 1

f(x) = 2·√x - x - SIN(pi·x) - 1/2

Man macht eine kleine Wertetabelle im Bereich 0 bis 5. Hier als gerundete Dezimalzahlen

[0, -0.5;
1, 0.5;
2, 0.328;
3, -0.036;
4, -0.5;
5, -1.028]

Du siehst hier zweimal ein Vorzeichenwechsel. Einen von f(0) auf f(1) und einen von f(2) auf f(3).

Daher muss die Funktion mind. 2 Nullstellen haben.

Wenn die Aufgabe ohne Taschenrechner erledigt werden soll langen sogar die Funktionswerte an den Stellen 0, 1 und 4 an denen man die Funktionswerte sehr leicht exakt im Kopf bestimmen kann.

Wichtig: Es war nicht die genaue Aufgabe die Anzahl der Nullstellen zu finden noch die genauen Nullstellen zu finden.

Comments

Man könnte auch noch ermitteln ab welchem x-Wert keine Nullstellen mehr auftreten können. Also ab wo gilt

2·√x - x - SIN(pi·x) - 1/2 < 0

2·√x - SIN(pi·x) - 1/2 < x

x > 2·√x - SIN(pi·x) - 1/2

Wir schätzen dazu . SIN() durch den höchsten Wert ab.

x > 2·√x - (- 1) - 1/2

x > 2·√x + 0.5

Das wäre sicher für x ≥ 5 erfüllt. Also braucht man ab 5 eh nicht mehr nach irgendwelchen Nullstellen suchen.

Answer 2

Der Zwischenwertsatz ist schon erwähnt worden.

Die geeigneten Stellen findet man am einfachsten mit einem Funktionsplotter / GTR:

Ich würde die Werte von f(0), f(1) und f(4) ausrechnen, das geht sogar im Kopf.