Wie hat man diese Nullstelle herausgefunden?

Question

Aufgabe:

Gleichung: z^4-4z^3-2z^2+12z-16=0
Problem/Ansatz:

Nullstellen müssen berechnet werden. Ich weiß, dass man eine Nullstelle erraten muss durch ausprobieren und danach die Polynomdivision durchführen muss. In der Lösung wird die Nullstelle 1+i erraten. Wenn ich i+1 einsetze kommt aber nicht null raus.

Answer 1

z^4 - 4·z^3 - 2·z^2 + 12·z - 16 = 0

Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt sollten das Teiler von dem Betrag des konstanten Summanden (16) sein.

Ich würde also zunächst die positiven und negativen Teiler von 16 testen. Man erhält als Teiler -2 und +4 und führt damit eine Polynomdivision oder das Horner Schema durch.

(z^4 - 4·z^3 - 2·z^2 + 12·z - 16) / (z + 2) = z^3 - 6·z^2 + 10·z - 8

(z^3 - 6·z^2 + 10·z - 8) / (z - 4) = z^2 - 2·z + 2

Die letzten beiden Nullstellen bekommt man mithilfe der pq-Formel.

z^2 - 2·z + 2 = 0 --> z = 1 ± i

Damit hat man alle 4 Nullstellen gefunden.

Answer 2

Dann hast Du Dich verrechnet. Sinnvollerweise rät man aber zuerst mal reelle Nullstellen, davon gibt es zwei Stück. Es hilft z.B. zu sehen, dass ungerade Zahlen keine Nullstellen sein können (überleg mal, warum).

Wenn man die entsprechenden Linearfaktoren abspaltet, bleibt ein Polynom vom Grad 2, das hat dann die beiden komplexen (nicht-reellen) Nullstellen, aber die muss man dann nicht mehr raten.

Also, "Lösung" weglegen und selbst ran.

Answer 3

\(z_1=1+i \)  → \(z_2=1-i \)

Polynomdivision:

\((z^4-4z^3-2z^2+12z-16):[(z-1-i)(z-1+i)]\)

\((z^4-4z^3-2z^2+12z-16):[z^2-2z+2]=z^2 - 2z - 8\)

\(z^2 - 2z - 8=0\)

\(z^2-2z+1=8+1=9\)

\((z-1)^2=9    |\pm\sqrt{~~}\)

1.)

\(z-1=3    \)

\(z_3=4   \)

2.)

\(z-1=-3    \)

\(z_4=-2   \)