Untergruppe zeigen, GL2(R)

Question

Text erkannt:

2. Sei
\( G:=\left\{\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2,2}: a_{1,1} \cdot a_{2,2}=1\right\} \subset \mathbb{R}^{2,2} . \)

Zeigen Sie, dass \( (G, \cdot) \) eine Untergruppe der \( \left(\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}), \cdot\right) \) ist.

Answer 1

G abgeschlossen bzgl. ·    ?

Betrachte dazu:

\(  \left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} b_{1,1} & 0 \\ 0 & b_{2,2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} a_{1,1} \cdot b_{1,1}& 0 \\ 0 & a_{2,2} \cdot b_{2,2} \end{array}\right) \)

Und es ist \( (a_{1,1} \cdot b_{1,1}) \cdot ( a_{2,2} \cdot b_{2,2}) \)

\(= (a_{1,1} \cdot a_{2,2}) \cdot (b_{1,1}  \cdot b_{2,2}) = 1 \cdot 1 = 1 \)

Also G abgeschlossen bzgl. ·

neutrales Element \(  \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \) enthalten ? Ja !

Zu jedem Element das Inverse enthalten ?

Inverses zu \(  \left(\begin{array}{cc} a_{1,1} & 0 \\ 0 & a_{2,2} \end{array}\right) \) ist \(  \left(\begin{array}{cc} \frac{1}{a_{1,1}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{2,2}} \end{array}\right) \)

und es gilt \(      \frac{1}{a_{1,1}} \cdot  \frac{1}{a_{2,2}} = 1 \). Also sind die

Inversen auch enthalten. ==>  Untergruppe !