2x2-Matrizen. Beweis, dass SL2(R)=(a b c d) : a,b,c,d∈ℝ , ad-bc=1 eine Untergruppe von GL2(R).

Question

Hallo alle zusammen,

ich habe die folgende aufgabe (also GL2(R) ist Matrix)

GL2(R) = (a b  c d)       : a, b, c, d ∈R, ad − bc ≠ 0
und bildet die Gruppe (GL2(R),*) . nun muss ich beweisen das SL2(R)=(a b c d) : a,b,c,d∈ℝ , ad-bc=1 eine Untergruppe von GL2(R)

wie soll ich zeigen dass SL(R) ⊂ GL(R) ?

reicht es wenn ich sage dass beide sind in ℝ und für GL(R) gilt ad-bc≠0 also es kann irgendeine Zahl geben insbesonders 1.

und für die andere Voraussetzung (neutrals Element,Inverses..) kann ich normal beweisen wie in irgendeine Gruppe oder?

Vielen Dank

Answer 1

reicht es wenn ich sage dass beide sind in ℝ

sag besser beides 2x2 Matrizen mit Elementen aus  ℝ

und für GL(R) gilt ad-bc≠0  und bei SL2 gilt ad-bc=1 also ≠0 .

also ist SL2 eine Teilmenge von GL2.      

Jetzt brauchst du noch "Untergruppe" und dazu musst  du

nur zeigen:

Abgeschlossenheit ( wenn wann zwei aus SL2 multipliziert,

liegt das Ergebnis wieder in SL2 )   und

zu jedem X aus SL2 ist die inverse wieder drin.

Comments

ok jetzt ist mir klar geworden was ich genau machen muss

ich hab noch eine frage wenn du mir weiter helfen kannst :)

und zwar in einem Beweis soll ich zeigen dass U eine Untergruppe von (G,*) genau wenn U≠0 und gilt ∀a,b∈ U gilt a.b^-1 ∈U (b^-1) ist das inverse Element von a

ich hab alles hingekriegt aber ich weiß nicht wie soll ich die abgeschlossenheit zeigen damit U eine gruppe sein kann also in andere Wörter wie kann zeigen dass  ∀a,b∈ U     a*b∈ U 

Danke nochmal

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wie kann zeigen dass  ∀a,b∈ U     a*b∈ U

Seien a,b ∈ U    . Du hast ja schon gezeigt    c =  b^-1 ∈ U

Also benutzt du die Vor  ∀a,c∈ U gilt a.c^-1 ∈U

für a und c und hast   a.c^-1 ∈U
              ==>    a*b ∈U.    

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oh das war einfacher als ich gedacht habe
vielen vielen Dank   :)

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Etwas alt, aber ich habe zur Zeit genau diese Aufgabe in Gruppentheorie. Wie zeige ich die Abgeschlossenheit? Also klar, seien A,B aus SL2R dann muss AB wieder in SL2R liegen. Der Knackpunkt ist aber ja die Determinante. Ich habe ja gegeben dass für Matrix A gilt: ad-bc=1 und für Matrix B: eh-fg=1 ist (Standarbeschriftung der beiden Matrizen A,B mit a,b,c,d und B mit e, f, g, h)...

Aber wie zeige ich jetzt bei der neuen Determinante dass diese = 1 ist?

Da hab ich ja die Rechnung (ae+bg)*(cf+dh)-(af+bh)*(ce+dg) =! 1....