R ist reflexiv, denn für alle x ∈ G muss ja dafür gelten
(x,x) ∈ R und das stimmt, weil
(x,x) ∈ R <=> x*x^(-1) ∈ H <=> e ∈ H
und das neutrale Element e ist in der Tat in jeder Untergruppe enthalten.
Außerdem musst du prüfen: R ist symmetrisch.
Sei also (x,y) ∈ R
==> x*y ^(-1) ∈ H.
Dann ist aber auch das Inverse von x*y^(-1) in H enthalten,
also ( x*y ^(-1) ) ^(-1) ∈ H
<=> ( y^(-1))^(-1) * x^(-1) ∈ H
<=> y * x^(-1) ∈ H
<=> (y,x) ∈ R .
Dann noch transitiv:
Seien (x,y) ∈ R und (y,z) ∈ R
==> x*y ^(-1) ∈ H und y*z ^(-1) ∈ H
Wegen der Abgeschlossenheit von H auch
( x*y ^(-1) ) * ( y*z ^(-1) ) ∈ H
Assoziativität liefert
x* ( y ^(-1) ) * y ) *z ^(-1) ) ∈ H
also x* e *z ^(-1) ) ∈ H
also x *z ^(-1) ) ∈ H
==> (x,z) ∈ R q.e.d.