Es sei (G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie: … Das Zentrum von G

Question

 

in Gruppen kenne ich mich gar nicht aus, deshalb werde ich mich auf eure Hilfe freuen!

EDIT: 

. Es sei (G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie:
(a) Sind a, b, c ∈ G mit a ∗ b = b ∗ a und a ∗ c = c ∗ a, dann gilt auch a ∗ (b ∗ c') = (b ∗ c') ∗ a. (Dabei bezeichnet c' das Inverse von c).
(b ) Für a ∈ G ist die Menge C_(a) = {x ∈ G | x ∗ a = a ∗ x} eine Untergruppe von
G, der Zentralisator von a in G.
(c) Die Menge ∩_(a∈G) C_(a) ist eine Untergruppe von G, das Zentrum von G.

Answer 1

Sind a, b, c ∈ G mit a ∗ b = b ∗ a und a ∗ c = c ∗ a, dann gilt auch a ∗ (b ∗ c') = (b ∗ c') ∗ a. (Dabei bezeichnet c' das Inverse von c).

Vorbereitung:

(1) a ∗ b = b ∗ a

(2) a ∗ c = c ∗ a  ==> c' * (a ∗ c)  =c ' * (c ∗ a ) wegen Assoziativität

                          ==>    ( c' * a )∗ c = (c ' * c) ∗ a   Def. Inverse

                          ==>   ( c' * a )∗ c =  a    (2a)

Nun zur zu beweisenden Gleichung:                     

a ∗ (b ∗ c')  wegen Assoziativität

=(a ∗ b) ∗ c')   wegen (1)

=(b ∗ a ) * c '   wegen 2a

=(b ∗ (( c' * a )∗ c ) * c ' wegen Assoziativität

= ((b ∗ c' ) * a )∗ (c  * c ' ) 

=(b ∗ c' ) * a    q.e.d.