Es sei (G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie:

Question 1

a) Für alle a, b ∈ G gilt
(a^-1 )^-1 =a und (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹.

b) Für alle a, b, b¯∈ G gelten die Kürzungsregeln

a ∗ b = a ∗ b¯ ⇒ b =b¯ und
b ∗ a =b¯ ∗ a ⇒ b =b¯.

Question 2

(1) $$ (a^{-1} )^{-1} = (a^{-1} )^{-1} (a^{-1} a ) = ( (a^{-1})^{-1} a^{-1} ) a = e a = a $$

(2) $ (a b) b^{-1} a^{-1} = e $ also gilt $ (ab)^{-1} = a^{-1} b^{-1} $

(3) Aus $ ab = ac $ folgt $ a^{-1} a b = a^{-1} a c $ also $ b = c $

ullim · Answer 1 · 2022-05-06T09:51:14+0000

(1) $$ (a^{-1} )^{-1} = (a^{-1} )^{-1} (a^{-1} a ) = ( (a^{-1})^{-1} a^{-1} ) a = e a = a $$

(2) $ (a b) b^{-1} a^{-1} = e $ also gilt $ (ab)^{-1} = a^{-1} b^{-1} $

(3) Aus $ ab = ac $ folgt $ a^{-1} a b = a^{-1} a c $ also $ b = c $

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