Zeigen Sie, dass für v ∈ V \ Span k linear unabhängig sind

Question

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Aufgabe 27
Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( v_{1}, \ldots v_{m} \in V \) linear unabhängig. Zeigen Sie, dass für \( v \in V \backslash \operatorname{Span}_{K}\left(\left\{v_{1}, \ldots, v_{m}\right\}\right) \) auch
\( v_{1}, \ldots, v_{m}, v \)
linear unabhängig sind.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hey weiß wer wie ich das am besten zeige dass es unabhängig ist? bzw verwirrt mich das v am ende etwas....

Answer 1

Das v dahinter sagt einfach nur: Man betrachtet jetzt die

ursprünglichen v1,...,vm  ergänzt um einen Vektor v, der

nicht im Span der ersten ist.

Wären sie (also diese m+1 Stück)  linear abhängig, dann gäbe es eine

Linearkombination für den Nullvektor mit mindestens einem a_i≠0:

\(    0 =  a_0v + \sum \limits_{i=1}^m a_iv_i \)   #

Dabei ist jedenfalls a_o ≠ 0 ; denn sonst hätte man eine

Linearkombination der v₁,...,v_m für den Nullvektor mit mindestens einem ai≠0,

was nicht möglich ist, da diese lin. unabh.

Also kann man # umschreiben zu

\(    v  =   \sum \limits_{i=1}^m \frac{-a_i}{a_o}v_i \) 

womit man eine Linearlombination von v durch die

v1,...,vm hätte, im Widerspruch zu \( v \in V \backslash \operatorname{Span}_{K}\left(\left\{v_{1}, \ldots, v_{m}\right\}\right) \).