Zeigen Sie, dass die v_{i} dann linear unabhängig sind.

Question

Kann man bei dieser Aufgabe, statt einer Induktion auch zeigen, dass v1,...,vn paarweise linear unabhängig sind und daraus dann schließen das v1-n linear unabhängig sind.

Text erkannt:

Aufgabe 4 Es sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( \varphi: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus. Ferner seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) Eigenvektoren von \( \varphi \) zu parweise verschiedenen Eigenwerten \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in K \). Zeigen Sie, dass die \( v_{i} \) dann linear unabhängig sind.

Answer 1

Aus paarweise linearer Unabhängigkeit folgt außerdem nicht die lineare Unabhängigkeit für die gesamte Menge der Vektoren.

Zu zeigen: Aus \( a_1v_1+ \ldots + a_nv_n =0 \) (Glg. 1) folgt \( a_i=0 \) für alle \( i \).

Es gilt \( \varphi(a_1v_1+ \ldots + a_nv_n) =a_1\varphi(v_1)+ \ldots +a_n \varphi(v_n)=a_1\lambda_1v_1 + \ldots +a_n\lambda_nv_n \) (Linearität+Eigenvektoren). (Glg. 2)

Beachte, dass es sich hier um Eigenvektoren handelt und daher \( \varphi(v_i)= \lambda_i v_i \) gilt für alle \( i \).

Den Induktionsanfang hat man leicht gezeigt, weil ein Vektor stets linear unabhängig ist.

Im Induktionsschritt setzt man nun so an, dass man davon ausgeht, dass \( n-1\) Vektoren linear unabhängig sind, es gilt also (Glg. 1) für \(n-1\) Vektoren.

Aus (Glg. 2) erhält man einerseits \(a_1\lambda_1v_1 + \ldots +a_n\lambda_nv_n=0\) und andererseits liefert (Glg. 1) mit \(\lambda_n\) multipliziert \(a_1\lambda_nv_1 + \ldots +a_n\lambda_nv_n=0\).

Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden und schlussfolgern, dass alle \( a_i \) null sein müssen, weil die Eigenwete paarweise verschieden sind. Man erhält nämlich Koeffizienten der Form \(a_i(\lambda_i-\lambda_n)\).

Comments

Abgesehen von deinem verunglückten "zu zeigen"-Satz :
Man kann dann Schlussfolgern erfortert den Induktionsbeweis.

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Danke. Hab's nochmal "umgewurschtelt". Den Beweis ordentlich auszuformulieren, überlasse ich dann dem FS. Aber vermutlich ging es auch nur um die Frage, ob es tatsächlich ohne vollst. Induktion geht.