Sei \( V \) ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle \). Zeigen Sie, dass die Vektoren \( v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m} \in V \) genau dann linear unabhängig sind, wenn gilt
\( \operatorname{det}\left(G\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)\right) \neq 0 \)
Hier ist \( G \) die Gramsche Matrix bzgl. \( v_{1}, \ldots, v_{m} \), d.h.
\( G\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle & \ldots & \left\langle v_{1}, v_{m}\right\rangle \\ \vdots & & \vdots \\ \left\langle v_{m}, v_{1}\right\rangle & \ldots & \left\langle v_{m}, v_{m}\right\rangle \end{array}\right) \)
