(i) {1, √ 2, √ 3} im R-Vektorraum R (ii) {1, √ 2, √ 3} im Q-Vektorraum R linear unabhängig?

Question

Sind die folgenden Mengen von Vektoren in dem jeweiligen Vektorraum linear abhängig?

(i) {1,√2,√3} im R-Vektorraum R

(ii) {1,√2,√3} im Q-Vektorraum R

(iii) {1,√(1/2), , 3 + √2} im Q-Vektorraum R

(iv) {(1, 2),(3, 4)} im R-Vektorraum R^2

(v) {(1, 2, 3),(4, 5, 6),(7, 8, 9)} im R-Vektorraum R^3

(vi) {(a, b),(c, d)} mit ad − bc = 0 im R-Vektorraum R^2

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?? Ich kann das irgendwie nicht :/ 

Answer 1

1) ja. linear abhängig.

Weil √2 = √2*1 .

(II) eher nicht, weil a*1 + b*√2 + c*√3 = 0 nicht mit rationalen a, b,c gelöst werden kann, es sei denn alle sind 0.

(III) ja. Denn

3 + √2 = 3*1 + 2*√(1/2)   . 3 und 2 sind Elemente von Q.

(IV) nein. a(1,2) = (3,4) ist nicht möglich.

(V) nein.

Grund: Differenz von 2 aufeinanderfolgenden Vektoren ist gleich.

Du kannst daher rechnen v3 = v2 + (v2-v1) = 2v2  + (-1)*v1

(VI) ?

Bitte kritisch nachrechnen.

Comments

Kannst du mir das erste erklären? Also es müssen doch alle drei in der Rechnung vorhanden sein und nicht nur 1*wurzel aus 2 ?

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a*1 + b*√2 + c*√3 = 0, wobei nicht alle drei Unbekannten 0 sein dürfen.

Eine Null allein ist kein Problem.

 √2*1 +(- 1)*√2 + 0*√3 = 0

Answer 2

Die Aufgabe müsste eigentich lauten: "Sind die Vektoren der folgenden Mengen in dem jeweiligen Vektorraum linear abhängig?"

Generell kann man versuchen, den Nullvektor aus den gegebenen Vektoren linear zu kombinieren. Geht das nur dadurch, dass alle Faktoren der Linearkombination Null sind, sind die Vektoren inear unabhängig, sonst nicht. Es gibt aber auch andere Möglichkeiten.

PS: Löse also etwa in (iv) die Vektorgleichung

a*(1, 2) + b*(3, 4) = (0, 0)

PPS: Die Moderatoren möchen bitte die nicht geünschten Zeilenvorschübe oben entfernen.

Comments

EDIT: Zeilenvorschübe frisst der "Editor" beim Hochladen. Da haben Moderatoren... keinen Einfluss drauf.

Meinst du in deinem Text oder in der Fragestellung?

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Ich meine den Text der Fragestellung.

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Aha. Die Wurzelzeichen hängen aber schon etwas in der Luft. (?)

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Ja eben! Liegt an dem Zeilenvorschub.

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Ach so. Du möchtest die weghaben. Ich habe deinen Kommentar nicht richtig gelesen.