Lineare Vektoren aus einem K-Vektorraum V wo zu zeigen ist, dass die Vektoren linear unabhängig sind

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 7
\( x_{1}, \ldots, x_{n} \) seien linear unabhängige Vektoren aus einem \( K \)-Vektorraum \( V \). Weiter sei \( x= \) \( \sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} x_{i} \) und \( \mu_{i} \in K \) für alle \( i=1, \ldots, n \). Es ist zu zeigen, dass unter der Voraussetzung \( \sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} \neq 1 \) die Vektoren \( x-x_{1}, \ldots, x-x_{n} \) linear unabhängig sind. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
Betrachten sie die Gleichung
\( 0=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(x-x_{i}\right) \)
(a) \( - \) Zeigen Sie, dass für alle \( i=1, \ldots, n \) gilt: \( \left(\sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j}\right) \mu_{i}=\lambda_{i} \)
- Folgern Sie daraus, dass \( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}=0 \) gelten muss (Summe über alle \( i \) bilden).
(b) Zeigen Sie, dass aus \( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}=0 \) und der Gleichung (1) folgt, dass \( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}=0 \).
- Zeigen Sie schließlich, dass die Vektoren linear unabhängig sein müssen.

Problem/Ansatz:

Servus liebe Mathe-Lounge Nutzer,

bräuchte erneut eure Hilfe. Ich hab es leider noch nicht wirklich mit Vektorräumen drauf...

erwarte hier keineswegs eine Lösung, bräuchte definitiv aber einen Ansatz. Wüsste nicht wie ich oder wo ich bei der Aufgabe 7a) ansetzen könnte.

Vielen Dank im Voraus und ich freue mich auf eure Hilfe.

LG

Fvaltrock

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7) \( \quad \lambda \in L\left(x_{0}, \ldots, x_{i}\right) \Rightarrow x \sum \limits_{i=1}^{u} \lambda_{i} x_{i} \quad x_{i} \in K \)
\( x_{1}, \ldots, x_{n} \) ind
lim. unabdorngig.
a) \( \begin{aligned} 0 & =\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(x-x_{i}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \lambda-\lambda_{i} x_{i}=\underbrace{\sum \limits_{j=1}^{n} \alpha_{j}}_{a} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} x_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{i}=0 \\ & \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} a \cdot \mu_{i} x_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} x_{i}=0 \\ & \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n}\left(a \cdot \mu_{i}-\lambda_{i}\right) x_{i}=0\end{aligned} \)
Am der lim. mabhingighit aceer \( x_{i} \) folger:
\( \begin{array}{l} a \mu_{i}-\lambda_{i}=0 \quad \Rightarrow\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\right) \mu_{i}=\lambda_{i} \\ \underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}}_{a}=\underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} \sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j}}_{a} \Rightarrow a=b a \quad \Leftrightarrow \quad 0=(b-k) a \Leftrightarrow a=0 \cdot d a \\ \Rightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i=0} \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { b) } \times \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \lambda_{i}, d x \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=0 \text { gilt } \\ x \cdot 0=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i} \Leftrightarrow 0=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i} \\ \end{array} \)
\( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}=0 \) aen folyt: \( \lambda_{i}=0 \)
alro gilt
\( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(x-x_{i}\right)=0 \Rightarrow x_{i}=0 \)
qued

Anbei die Lösung zu der Aufgabe. Sie wurde uns nun vorgerechnet.