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Aufgabe:

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Aufgabe 7
x1,,xn x_{1}, \ldots, x_{n} seien linear unabhängige Vektoren aus einem K K -Vektorraum V V . Weiter sei x= x= i=1nμixi \sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} x_{i} und μiK \mu_{i} \in K für alle i=1,,n i=1, \ldots, n . Es ist zu zeigen, dass unter der Voraussetzung i=1nμi1 \sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} \neq 1 die Vektoren xx1,,xxn x-x_{1}, \ldots, x-x_{n} linear unabhängig sind. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
Betrachten sie die Gleichung
0=i=1nλi(xxi) 0=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(x-x_{i}\right)
(a) - Zeigen Sie, dass für alle i=1,,n i=1, \ldots, n gilt: (j=1nλj)μi=λi \left(\sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j}\right) \mu_{i}=\lambda_{i}
- Folgern Sie daraus, dass i=1nλi=0 \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}=0 gelten muss (Summe über alle i i bilden).
(b) Zeigen Sie, dass aus i=1nλi=0 \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}=0 und der Gleichung (1) folgt, dass i=1nλixi=0 \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}=0 .
- Zeigen Sie schließlich, dass die Vektoren linear unabhängig sein müssen.



Problem/Ansatz:

Servus liebe Mathe-Lounge Nutzer,


bräuchte erneut eure Hilfe. Ich hab es leider noch nicht wirklich mit Vektorräumen drauf...

erwarte hier keineswegs eine Lösung, bräuchte definitiv aber einen Ansatz. Wüsste nicht wie ich oder wo ich bei der Aufgabe 7a) ansetzen könnte.


Vielen Dank im Voraus und ich freue mich auf eure Hilfe.


LG

Fvaltrock

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Text erkannt:

7) λL(x0,,xi)xi=1uλixixiK \quad \lambda \in L\left(x_{0}, \ldots, x_{i}\right) \Rightarrow x \sum \limits_{i=1}^{u} \lambda_{i} x_{i} \quad x_{i} \in K
x1,,xn x_{1}, \ldots, x_{n} ind
lim. unabdorngig.
a) 0=i=1nλi(xxi)=i=1nxiλλixi=j=1nαjai=1nμixii=1ni=0i=1naμixii=1nxixi=0i=1n(aμiλi)xi=0 \begin{aligned} 0 & =\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(x-x_{i}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \lambda-\lambda_{i} x_{i}=\underbrace{\sum \limits_{j=1}^{n} \alpha_{j}}_{a} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} x_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{i}=0 \\ & \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} a \cdot \mu_{i} x_{i}-\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} x_{i}=0 \\ & \Leftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n}\left(a \cdot \mu_{i}-\lambda_{i}\right) x_{i}=0\end{aligned}
Am der lim. mabhingighit aceer xi x_{i} folger:
aμiλi=0(i=1nλi)μi=λii=1nλia=i=1nμij=1nλjaa=ba0=(bk)aa=0dai=1nλi=0 \begin{array}{l} a \mu_{i}-\lambda_{i}=0 \quad \Rightarrow\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\right) \mu_{i}=\lambda_{i} \\ \underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}}_{a}=\underbrace{\sum \limits_{i=1}^{n} \mu_{i} \sum \limits_{j=1}^{n} \lambda_{j}}_{a} \Rightarrow a=b a \quad \Leftrightarrow \quad 0=(b-k) a \Leftrightarrow a=0 \cdot d a \\ \Rightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i=0} \\ \end{array}
 b) ×i=1nxi=i=1nxiλi,dxi=1nxi=0 gilt x0=i=1nλixi0=i=1nλixi \begin{array}{l} \text { b) } \times \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \lambda_{i}, d x \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=0 \text { gilt } \\ x \cdot 0=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i} \Leftrightarrow 0=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i} \\ \end{array}
i=1nλixi=0 \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}=0 aen folyt: λi=0 \lambda_{i}=0
alro gilt
i=1nλi(xxi)=0xi=0 \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(x-x_{i}\right)=0 \Rightarrow x_{i}=0
qued


Anbei die Lösung zu der Aufgabe. Sie wurde uns nun vorgerechnet.

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