Es sei (G, ∗) eine Gruppe und H ⊆ G eine Untergruppe von H. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Hallo

könnte mir jemand vielleicht bei dieser Aufgabe helfen?

Die Aufgabe lautet:

Es sei (G, ∗) eine Gruppe und H ⊆ G eine Untergruppe von G. Für x ∈ G sei x^(−1) das inverse Element von x bezüglich ∗. Sei R ⊆ G × G eine Relation über den Elementen von G mit

(x, y) ∈ R ⇔ x ∗ y^(−1) ∈ H             ∀x, y ∈ G.

Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

R ist reflexiv, denn für alle x ∈ G muss ja dafür gelten

(x,x)  ∈ R  und das stimmt, weil

(x,x)  ∈ R <=> x*x^(-1)  ∈  H <=>  e  ∈  H

und das neutrale Element e ist in der Tat in jeder Untergruppe enthalten.

Außerdem musst du prüfen:  R ist symmetrisch.

Sei also    (x,y)  ∈ R

==>     x*y ^(-1)  ∈  H.

Dann ist aber auch das Inverse von  x*y^(-1) in H enthalten,

also  (   x*y ^(-1) ) ^(-1)   ∈  H

<=>  ( y^(-1))^(-1)  * x^(-1)     ∈  H

<=>   y * x^(-1)     ∈  H

<=>  (y,x)  ∈ R .

Dann noch transitiv:

Seien   (x,y)  ∈ R  und   (y,z)  ∈ R

==>     x*y ^(-1)  ∈  H und     y*z ^(-1)  ∈  H

Wegen der Abgeschlossenheit von H auch

     (    x*y ^(-1) ) *   (    y*z ^(-1) )  ∈  H

Assoziativität liefert

        x*   ( y ^(-1) ) *       y ) *z ^(-1) )  ∈  H

also   x*  e *z ^(-1) )  ∈  H

also   x *z ^(-1) )  ∈  H

==>    (x,z)  ∈ R     q.e.d.

Comments

wieso darf man denn beim Beweis der Symmetrie ( y^(-1))^(-1)  * x^(-1) diesen Schritt machen? Also wieso darf ich annehmen, dass es immer noch äquivalent ist, wenn ich das x nach hinten stelle?

LG dragonlord

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Es gilt allgemein   (a*b)^(-1) = b^(-1) * a^(-1) .

Denn man muss ja a*b mit  b^(-1) * a^(-1)  um auf das

neutrale El. zu kommen.

Answer 2

Der grobe Plan lautet hier ja, dass du nur die Axiome für eine Äquivalenzrelation nachrechnen musst. Da bei dieser Relation Elemente in H verknüpft werden, solltest du dir unbedingt anschauen, was H ist, eine Untergruppe (Definition anschauen). Damit kann man ziemlich einfach die Axiome nachweisen.