Zeige, dass die Aussagen äquivalent sind: (i) U∪V ≤G,d.h. U∪V ist eine Untergruppe von G, (ii) U ⊆ V oder V ⊆ U.

Question

Es sei G eine Gruppe sowie U und V Untergruppen von G. Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:

(i) U∪V ≤G, d.h. U∪V ist eine Untergruppe von G, (ii) U ⊆ V oder V ⊆ U. 

Answer 1

die Rückrichtung ist sehr einfach zu beweisen. Ist \( U \subset V \) oder \( V \subset U \), dann gilt \( U \cup V = V \) oder \( U \cup V = U \) und wegen \( U, V \leq G \) dann \( U \cup V \leq G \).

Die Hinrichtung folgt aus der Abgeschlossenheit bzw. aus der Verletzung dieser: Sei \( U \cup V \leq G \) und gebe es \( u \in U \) und \( v \in V \) mit \( u \not\in V \) und \( v \not\in U \). Es ist \( uv \in U \cup V \).

Das heißt, es ist \( uv \in U \) oder \( uv \in V \). Sei \( uv \in U \). Dann ist wegen der Abgeschlossenheit von \( U \) auch \( u^{-1}uv = v \in U \), ein Widerspruch zur Voraussetzung \( v \not\in U \).

Für \( uv \in V \) folgt analog \( uvv^{-1} = u \in V \), ein Widerspruch zu \( u \not\in V \).

Folglich kann es \( u \in U \) und \( v \in V \) mit \( u \not\in V \) und \( v \not\in U \) nicht geben und es muss gelten \( U \subset V \) oder \( V \subset U \).

Schöne Grüße

Mister