Vielleicht hast du es so ?
Seien H, I, J Untergruppen mit H ⊆ I ∪J.
und H ⊄ I . (Das soll zugleich auch H≠I bedeuten,
aber das Zeichen für (nicht ⊆ ) finde ich grad nicht.)
==> ∃x∈H und x∉I.
Wegen H ⊆ I ∪J ist also x∈J.
Dann ist zu zeigen: H ⊆ J . Das geht wohl so:
Sei y∈H . ==> x ⊗ y ∈H weil H Untergruppe.
==> x ⊗ y ∈ I ∪J
==> x ⊗ y ∈ I oder x ⊗ y ∈ J
Das erste kann nicht sein; denn dann wäre
( x ⊗ y ) ⊗ y^{-1} = x ⊗ ( y ⊗ y^{-1} ´) = x
in I im Widerspruch zur Annahme x∉I.
Also gilt x ⊗ y ∈ J und weil J eine
Untergruppe ist, die x enthält , enthält sie auch
x^{-1} ⊗ ( x ⊗ y ) = y .
Also ist jedes y∈H auch in J enthalten und damit
H ⊆ J .
Entsprechend erhältst du aus der Annahme:
Seien H, I, J Untergruppen mit H ⊆ I ∪J.und
H ⊄ J . (Das soll zugleich auch H≠J bedeuten,aber das
Zeichen für (nicht ⊆ ) finde ich grad nicht.)
Dann auch H ⊆ I . Kurz:
Wenn H nicht vollständig in der einen Untergruppe
liegt, dann jedenfalls vollständig in der anderen.
