Welche der folgenden Teilmengen von S_{\square} sind Untergruppen?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Teilmengen von \( S_{\square} \) sind Untergruppen? Welche der Untergruppen sind normal? Wie lässt sich gegebenenfalls die Quotientengruppe beschreiben?
\( \begin{array}{l} A:=\left\{d_{0}, s_{x}\right\} \\ B:=\left\{d_{0}, s_{x}, s_{y}\right\} \\ C:=\left\{d_{0}, d_{1}, d_{2}, d_{3}\right\} \end{array} \)
Es gibt einen Monomorphismus \( S_{\square} \hookrightarrow S_{4} \). Ist das Bild von \( S_{\square} \) in \( S_{4} \) eine normale Untergruppe?

S Square= die Symmetriegruppe eines Quadrats;

Answer 1

\(A\) ist eine Untergruppe mit \(s_x^2=d_0\) und \(s_x^{-1}=s_x\),

aber kein Normalteiler.

\I(B\) ist nicht abgeschlossen unter der Verknüpfung.

\(C\) ist eine Untergruppe, nämlich die von \(d_1\) erzeugte

zyklische Untergruppe. Wegen Index 2 ist \(C\) sogar

ein Normalteiler.

Bei geeigneter Numerierung der Ecken kann man \(S_{\square}\) so als

Teilmenge von \(S_4\) auffassen:

\(\{id,(1234),(13)(24),(1432),(12)(34),(14)(23),(13),(24)\}\).

Es ist leicht mit einem Beispiel zu zeigen, dass dies kein

Normalteiler ist.

Comments

Danke. Könnten Sie erläutern, wieso A kein Normalteiler ist und B nicht abgeschlossen ist? Wie beweise ich dies?