Prüfen Sie welche Teilmengen U c Q Untergruppen sind. Bsp. a) U = {x ∈ ℚ I 10x ∈ ℤ}.

Question

Hi,

Ich muss prüfen welche der folgenden Teilmengen U ⊂ ℚ Untergruppen sind.

a) U = {x ∈ ℚ I 10x ∈ ℤ}.

b) U= {m/n I m ∈ ℤ beliebig und n ∈ ℕ ungerade}

Was ich weiß ist, dass übrigens ist mit der Schreibweise in (b) genauer  U= {x ∈ ℚ I es gibt ein ungerades n ∈ ℕ, so dass x = m/n} gemaint.

Ich würde sehr dankbar sein, wenn jemand mir mit diesen Aufgaben helfen kann.

Answer 1

Ich muss prüfen welche der folgenden Teilmengen U ⊂ ℚ Untergruppen sind.

a) U = {x ∈ ℚ I 10x ∈ ℤ}.  

Das sind quasi alle mit höchstens einer Stelle hinterm Komma.

Geht wohl um Addition ???

0 ist in U und zu jedem x aus Q auch - x . Außerdem bezüglich

Addition abgeschlossen; denn wenn man zwei davon addiert, gibt es

wieder so ein Element.

b) U= {m/n I m ∈ ℤ beliebig und n ∈ ℕ ungerade}

Das sind alle Brüche mit ungeradem Nenner .

0 = 0/1 und zu jedem das negative klappt also.

Und wenn man bedenkt, dass ungerade Zahlen miteinander

multipliziert ungerade Zahlen ergebne, dann ergibt

x/a + y/b =  (xb+ya/ / (ab) einen Bruch mit ungeradem Nenner.

Comments

Ja, genau, alles hier ist richtig, aber nur teoretisch. Es ist offensichtlich, dass das alle Brüche mit ungeradem Nenner sind. Ich frage mich, wie kann ich das beweisen (dass die Teilmengen Untergruppen sind).

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So wie ich es geschrieben habe:

0 = 0/1   also ist 0 ∈ U

und zu jedem das negative klappt auch; denn wenn

a/b einen ungeraden Nenner hat, dann auch -a /b ist ja der

gleiche Nenner.

Und wenn man bedenkt, dass ungerade Zahlen miteinander

multipliziert ungerade Zahlen ergebne, dann ergibt

x/a + y/b =  (xb+ya/ / (ab) einen Bruch mit ungeradem Nenner,

also ist die Menge gegenüber + abgeschlossen, also eine

Untergruppe.

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Ja, jetzt habe ich alles verstanden :D , und für a) geht um Addition ja, es ist wider so wie du es geschrieben hast?