Seien p,q Aussagen, weisen sie nach, dass die Aussagen äquivalent sind i. p->q ii. ¬q->¬p

Question

Hi, 

a) habe ich für b) fehlt mir ein Ansatz. Ich weiß nicht, was ich genau beweisen soll. 

Answer 1

Hi bahamas! :-)

Die Äquivalenz der Aussagen i. und ii. soll gezeigt werden, dass also gilt:
p ⇒ q  ⇔ ¬q ⇒ ¬p
Das kannst Du mit einer Wahrheitstabelle zeigen, oder so:

p ⇒ q ⇔
¬p ∨ q ⇔
q ∨ ¬p ⇔
¬(¬q) ∨ ¬p ⇔
¬q ⇒ ¬p

Comments

Ich habe es mit einer Wahrheitstabelle gemacht. 

Aber wie hast du das beschrieben?

Äquivalenz A<->B = A->B und B->A

p ⇒ q  ⇔ ¬q ⇒ ¬p 

¬p v p ⇔ q v ¬p (Kontraposition)

p v ¬p ⇔ q v ¬p (Kommutativgesetz)  

jetzt passt es.. :-) 

Kann man diese Kontraposition noch beweisen?

Mit dem Schema a ist Element p ⇒ q und a ist Element ¬p v p (so wie man das bei Mengen macht oder geht das hier nicht?), dann umstellen oder geht man da auch besser über eine Wahrheitstafel? 

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Deine Zeile

¬p v p ⇔ q v ¬p (Kontraposition)

ist nicht das, was man geläufig Kontraposition nennt. Das ist nicht einmal eine Äquivalenz.

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Da ist ein Tippfehler 

¬p v q ⇔ q v ¬p (Kontraposition)   

So ist es okay, oder? 

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Tippfehler, ah, okay! Aber hey, ne, das würde ich eher Kommutativgesetz nennen. Das brauchst Du nicht zu beweisen, das ist ein Axiom.

Die Kontraposition, das ist diese Aussge ¬q ⇒ ¬p. Das ist die Kontraposition von p ⇒ q. Man nutzt die Kontraposition in Beweisen, wenn man p ⇒ q beweisen möchte, indem man ¬q ⇒ ¬p beweist. Denn wenn man ¬q ⇒ ¬p beweist, gilt auch p ⇒ q, weil beide Aussagen äquivalent sind.

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Ich versuche nur es zu verstehen. ;-) 

Und wie beweist man dann ¬q ⇒ ¬p ?  So .. p ⇒ q. ? Ist das ein indirekter Beweis, wenn man von dem negierten Ausdruck versucht zu beweisen? Grüße 

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"Und wie beweist man dann ¬q ⇒ ¬p ?"

Gar nicht. Was möchtest Du daran beweisen? Das ist irgend eine Implikation. p, q können beliebige Aussagen sein.

"Ist das ein indirekter Beweis, wenn man von dem negierten Ausdruck versucht zu beweisen?"

Ja, das stimmt prinzipiell vom Ansatz her.
Das ist eine andere Beweismethode als Beweis durch Kontraposition und beides wird für die Aufgabe (b) nicht benötigt.

In Aufgabe (b) möchte der Augfgabensteller lediglich, dass Du die Äquivalenz p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q beweist.
Das kannst Du mit einer Wahrheitstabelle oder durch Äquivalenzumformungen machen:
p ⇒ q ⇔
¬p ∨ q
...
usw. siehe oben.

Answer 2

Es steht nicht da, dass man das nicht mit einer Wahrheitstafel machen darf. Also Aussagen p,q mit 0en und 1en kombinieren und nacheinander die logischen Ausdrücke auswerten.

Die beiden Aussagen A=q->p und B=nicht q->nicht p sind äquivalent, wenn die A<->B eine Tautologie ist (überall Einser).

Viel Erfolg!