Sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Zeigen Sie:

Question

Aufgabe:

Sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Zeigen Sie:

(a) Gilt |U| = |G|/2, so ist U Normalteiler.

(b) Gibt es keine weitere Untergruppe von G mit derselben Anzahl an Elementen wie U,so ist U Normalteiler.

Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

ich weiß nicht wie genau wie man einen Normalteiler beweist bzw. wie man diesen in dieser Aufgabe beweist. Würde mich über Ansätze und jegliche Hilfe sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen,

Milad.

Answer 1

Zu (a):

Ist \(a\in G\backslash U\), so gilt einerseits \(G=U\cup aU\) mit \(U\cap aU=\emptyset\)

und andererseits \(G=U\cup Ua\) mit \(U\cap Ua=\emptyset\), folglich

\(aU=G\backslash U=Ua\). Also ist \(aU=Ua\) für alle \(a\notin U\)

und \(aU=Ua\) für alle \(a\in U\) ohnehin, d.h. \(U\) ist Normalteiler.

Zu (b):

Sei \(a\in G\), dann ist \(U\rightarrow aUa^{-1},\; x\mapsto axa^{-1}\) eine Bijektion,

d.h. die Untergruppen \(aUa^{-1}\) und \(U\) haben gleichviele Elemente.

Nach Voraussetzung ist dann \(aUa^{-1}=U\). Da \(a\) beliebig ist,

ist damit gezeigt, dass \(U\) Normalteiler ist.