In welchem Intervall mit Mittelpunkt μ liegt der Spritverbrauch mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit 50%?

Question

Aufgabe:
Der Spritverbrauch eines Pkw (in Liter/100 km) im Stadtverkehr ist normalverteilt mit μ= 8,2  und σ =1,8. In welchem Intervall mit Mittelpunkt μ liegt der Spritverbrauch mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit 50%?
Problem/Ansatz:

Also für die Grenzen habe ich 8,2 -1,8 bzw. 8,2+1,8 gerechnet. Damit kam für die Normalverteilung ca. 0,6827 raus. Was mache ich jetzt mit den 50% damit ich die Intervalle berechnen kann?

Answer 1

Der Spritverbrauch eines Pkw (in Liter/100 km) im Stadtverkehr ist normalverteilt mit μ= 8,2  und σ =1,8. In welchem Intervall mit Mittelpunkt μ liegt der Spritverbrauch mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit 50%?

Φ(k) = 0.5 + 0.5/2 = 0.75 --> k = 0.6745

Gesucht ist also das 0.6745-Sigma-Intervall

I = [8.2 - 0.6745·1.8, 8.2 + 0.6745·1.8] = [6.986, 9.414]

Answer 2

Der Standardnormalverteilungstabelle kann man entnehmen, dass das Intervall etwa Erwartungswert plusminus 0,67 Standardabweichungen beträgt.

Answer 3

Vor und nach dem symmetrischen Intervall liegt jeweils ein 25%-Intervall mit der Wahrscheinlichkeit für geringeren bzw. höheren Verbrauch.

Die obere Grenze deines 50%-Intervalls liegt also so, dass die Wahrscheinlichkeit für Verbrauchswerte unterhalb dieser oberen Grenze 0,25 + 0,5 = 0,75 ist. Laut Tabelle der Standardnormalverteilung gilt Φ (0,67)≈ 0,75..

Die obere Grenze des Intervalls ist also µ+0,67σ, die untere Grenze µ-0,67σ.

Die Werte für µ und σ sind ja gegeben, du musst sie nur einsetzen.