Lösen einer trigonometrischen Gleichung

Question

Aufgabe:

Lösen der trigonometrischen Gleichung sin(x-3)=-1

Problem/Ansatz:

gegeben ist zusätzlich noch das zu beachtende Intervall I=[0;2Pi].

Wäre dankbar für einen kompletten Rechenweg:)

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

aber wie mache ich das dann mit dem Intervall?

Die Sinus-Funktion nimmt für jede ganze Zahl \(k\) mit einem Argument \(2k\pi - \pi/2\) den Wert \(-1\) an. Also kannst Du schreiben$$\begin{aligned}\sin(x-3) &= -1\\ x- 3 &= 2k\pi - \frac{\pi}{2} && k \in \mathbb{Z} \\ x &= 2k\pi - \frac{\pi}{2} + 3\end{aligned}$$Für \(k=-1\) wäre \(x \lt 0\) und für \(k=1\) wäre \(x \gt 2\pi\). Also ist die einzige Lösung, bei der \(x\) im geforderten Intervall von \([0,\,2\pi)\) liegt, diejenige mit \(k=0\):$$x = -\frac{\pi}{2} + 3 \approx 1,43$$

~plot~ sin(x-3);x=0;x=2pi;{3-pi/2|-1};[[-1|7|-2|2]] ~plot~

Gruß Werner

Comments

Wäre dankbar für einen kompletten Rechenweg

Statt \(k\) abzuschätzen, kannst Du es auch ganz formal machen. Löse dazu folgende Ungleichungen:$$\begin{aligned} 0 &\le x = 2k_{\min}\pi - \frac{\pi}{2} + 3\\ \frac{\pi}{2} - 3&\le 2k_{\min}\pi\\ \pi - 6&\le 4k_{\min}\pi\\ k_{\min} &\ge\frac{\pi-6}{4\pi} \approx -0,23 \\2\pi &\gt x = 2k_{\max}\pi - \frac{\pi}{2} + 3\\ k_{\max} &\lt \frac{5\pi - 6}{4\pi} \approx 0,77\end{aligned}$$Daraus folgt \(k \in [-0,23\dots 0,77) \land k \in \mathbb{Z} \implies k = 0\)

Answer 2

Setze x-3=u, löse und resubstituiere.

Comments

aber wie mache ich das dann mit dem Intervall?

Answer 3

Wäre dankbar für einen kompletten Rechenweg:)

Da muss man doch nicht wirklich etwas rechnen.

Im genannten Intervall ist arcsin(-1) = 3/2 pi und dementsprechend x = - pi/2 + 3

(Lösung verschiebt sich um 3 nach rechts und dann um 2 pi nach links damit sie wieder im Intervall liegt.)