Lösung einer trigonometrischen Gleichung des Typs: cos(ax)=d*cos(bx)

Question

Aufgabe:

Gesucht sind alle x (in R) aus einer periodischen Gleichung der Form:

cos(ax)=d*cos(bx)

Es ist eine rechnerische Lösung (keine Grafische) gesucht.

a, b, d sind aus R und gegeben.

[Im konkreten Fall sind a=pi/2 b=2pi/3 unf d=0.56 kann aber in anderen Aufgaben abweichen]

Problem/Ansatz:

Nach x umformen mit Additionstheoremen o.ä.

 - a und b sind keine Vielfache, daher ist ein einfaches zusammenfassen mit den Theoremen schwer möglich

- Der Faktor d blockiert die Nutzung einiger Theoreme

Comments

Ich habe eine Lösung gefunden:

1: Die Parameter a und b müssen so substituiert werden, dass der Cosinus nur noch Faktoren aus N beinhaltet. (Annahme 2pi durch Periodenlänge, hier v=pi/6*x, also cos(3v) und cos(4v)).

2: Nun können die Additionstheoreme für n-fache (Hier 3 und 4) verwendet werden. Daraus folgt überall der cos(v) mit verschiedenen Potenzen.

3: Erneute Substitution von cos(v)=u und darauf ganzrationale Gleichung nach u auflösen.

4: Schritt 3 resubstituieren (für gesamte Periodenlänge des cos -> 2 Lösungen meist) falls möglich (nur werte zwischen -1 und 1) und aus Schritt 1 erneut resubstituieren.

5: Man erhält alle Lösungen der ersten Periode, welche jeweils mit n (aus N) mal der Periodenlänge (gesamte Funktion oder ggv der einzelnen) addiert werden müssen um auf alle Lösungen zu kommen.

Answer 1

Da steigt auch wolframalpha aus.

a, b, d sind aus R und gegeben.

[Im konkreten Fall sind a=pi/2 b=2pi/3 unf d=0.56 kann aber in anderen Aufgaben abweichen]

Damit solltest du wenigstens die Lösungen finden, für die cos(ax)=0 und cos(bx)=0 gilt.

Comments

Kann sein, dass ich mich irre, aber soweit ich das sehe ist das KGV beider Periodenlängen bei 12 und in diesem Bereich treffen sich die Funktionen nicht in einer Nullstelle, dementsprechend auch nicht im unendlichen. Der Ansatz funktioniert somit nicht, um an eine Lösung zubekommen.

---

Hast du noch eine andere Idee, wie zumindest eine Lösung bestimmt werden kann?