Körper mit regulärer schiefsymmetrischer Matrix

Question

Aufgabe:

Sei die Matrix A ∈ K^N×N schiefsymmetrisch, also A = −A⊤.
a) Zeigen Sie im Fall K = R die Implikation
N ungerade ⇒ A singulär.
Hinweis: Benutzen Sie die Determinantenfunktion.

b) Geben Sie einen Körper an, für welche die Implikation oben falsch ist. Begründen Sie kurz.

Problem/Ansatz:

Die a) hab ich bereits gelöst, aber ich komm in Gottes Namen nicht auf eine Lösung für die b)... ganze Zahlen, rationale Zahlen, komplexe Zahlen, Restklassenkörper, et cetera... Die Determinante ist doch bei schiefsymmetrischen Matritzen mit N ungerade zwangsweise immer 0, dachte ich... dementsprechend kann die Matrix doch dann nur singulär sein. Oder übersehe ich etwas?

Answer 1

Die Determinante ist doch bei schiefsymmetrischen Matritzen mit N ungerade zwangsweise immer 0

Man hat doch Det(A)=- Det(A)   Im Körper mit 2 Elementen gilt das

auch, wenn Det(A)=1 ist, wegen 1 = -1.

Comments

Also ein Körper wie F2 = {{1,2},+,*}?

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Ja, den meinte ich. wird aber wohl eher {0;1} geschrieben.

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Ich stehe leider immernoch ein bisschen auf dem Schlauch...

Wenn

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Jetzt eine 3x3 Matrix aus diesem Körper ist, wie berechne ich dann genau die determinante davon? Ist ja ein anderer Körper, also kann man sich ja nicht ganz an die Rechenregeln wie sie für R definiert sind halten, oder?

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Das ist doch die Einheitsmatrix. Det=1.