Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf ihre Konvergenz

Question

Aufgabe:

1) $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\left(6+(-1)^n\right)^n}$$
2) $$\sum_{n \geq 1} \frac{13+n}{7^n}$$
3) $$\sum_{n \geq 1} \frac{n 2^{n+1}}{3^n}$$
4) $$\sum_{n \geq 1} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^3+1}}$$
5) $$\sum_{n \geq 1} \frac{n^n}{\left(1+4 n+4 n^2\right)^{\frac{n}{2}}}$$

$$\text { Hinweis: Sie dürfen für diese Aufgabe die Konvergenz der Reihe } \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^k} \text { für } k>1 \text { verwenden. }$$

Answer 1

1)  Betrachte \(  \sqrt[n]{ |a_n|} =  \frac{1}{6+(-1)^n} \) hat immer abwechselnd

den Wert \( \frac{1}{5} \)   oder    \( \frac{1}{7} \)   .

 ==>  \(    \limsup\limits_{n \to \infty }  \sqrt[n]{ |a_n|}=    \frac{1}{5}   \lt 1 \)

==>  Reihe konvergiert.

2) mit Quotientenkriterium analog zum 1. Beispiel bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium#Beispiele

3)  Betrachte \(  \sqrt[n]{ |a_n|} =  \frac{ \sqrt[n]{n}\cdot \sqrt[n]{2}\cdot 2}{3} \)

also Grenzwert  \(  \frac{  2}{3} \lt 1 \).  Reihe konvergiert.

Comments

Vielen Dank, habe jetzt die Aufgaben ein wenig durchgerechnet und es jetzt verstanden!

Answer 2

Term 1) ist konvergent mit dem Grenzwert \( \frac{11}{48} \).