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Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz. Berechnen Sie im Falle der Konvergenz ihre Summe und geben Sie im Fall der Divergenz an, ob bestimmte Divergenz gegen \( \infty \), bestimmte Divergenz gegen \( -\infty \) oder unbestimmte Divergenz vorliegt:

a) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty}(-3)^{2 k+1} \),

b) \( \sum \limits_{k=-2}^{\infty}(-3)^{-2 k+1} \)

c) \( \sum \limits_{k=-3}^{\infty}(-3)^{3 k-1} \).

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Aloha :)

Bei a) wird nicht über eine Nullfolge summiert:$$\small S_a=\sum\limits_{k=2}^\infty(-3)^{2k+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{2(k+2)+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{2k+5}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{2k}=-3^5\sum\limits_{k=0}^\infty3^{2k}\to-\infty$$Wegen des geraden Exponenten \(2k\) können wir unter der Summe das Minuszeichen weglassen. Vor der Summe nutzen wir \((-3)^5=-3^5\) und finden bestimmte Divergenz gegen \(-\infty\)

Bei c) liegt auch keine Nullfolge vor:$$S_c=\sum\limits_{k=-3}^\infty(-3)^{3k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{3(k-3)+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{3k-8}=\frac{1}{(-3)^8}\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{3k}\to\text{divergent}$$Weil der Exponent \(3k\) mal ungerade und mal gerade ist, hat jeder Summand ein anderes Vorzeichen als sein Nachfolger. Die Reihe divergiert, aber wir können nicht sagen, ob gegen \(+\infty\) oder \(-\infty\).

Bei b) finden wir eine geometrische Reihe vor:$$S_b=\sum\limits_{k=-2}^\infty(-3)^{-2k+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{-2(k-2)+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{-2k+5}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{-2k}$$$$\phantom{S_b}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{(-3)^{2k}}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{\left((-3)^2\right)^k}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{9^k}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{9}\right)^k$$$$\phantom{S_b}=(-3)^5\cdot\frac{1}{1-\frac19}=(-3)^5\cdot\frac{9}{8}=-\frac{3^7}{8}=-273,375$$Diese Summe konvergiert.

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a) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty}(-3)^{2 k+1} \),  bestimmte Divergenz gegen \( -\infty \) alles negative Summanden mit

Betrag größer 1.

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