Aloha :)
Bei a) wird nicht über eine Nullfolge summiert:$$\small S_a=\sum\limits_{k=2}^\infty(-3)^{2k+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{2(k+2)+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{2k+5}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{2k}=-3^5\sum\limits_{k=0}^\infty3^{2k}\to-\infty$$Wegen des geraden Exponenten \(2k\) können wir unter der Summe das Minuszeichen weglassen. Vor der Summe nutzen wir \((-3)^5=-3^5\) und finden bestimmte Divergenz gegen \(-\infty\)
Bei c) liegt auch keine Nullfolge vor:$$S_c=\sum\limits_{k=-3}^\infty(-3)^{3k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{3(k-3)+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{3k-8}=\frac{1}{(-3)^8}\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{3k}\to\text{divergent}$$Weil der Exponent \(3k\) mal ungerade und mal gerade ist, hat jeder Summand ein anderes Vorzeichen als sein Nachfolger. Die Reihe divergiert, aber wir können nicht sagen, ob gegen \(+\infty\) oder \(-\infty\).
Bei b) finden wir eine geometrische Reihe vor:$$S_b=\sum\limits_{k=-2}^\infty(-3)^{-2k+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{-2(k-2)+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{-2k+5}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty(-3)^{-2k}$$$$\phantom{S_b}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{(-3)^{2k}}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{\left((-3)^2\right)^k}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{9^k}=(-3)^5\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{9}\right)^k$$$$\phantom{S_b}=(-3)^5\cdot\frac{1}{1-\frac19}=(-3)^5\cdot\frac{9}{8}=-\frac{3^7}{8}=-273,375$$Diese Summe konvergiert.
