Bestimmen Sie die Lösung des Randwertproblems

Question

Meine Aufgabe ist:

Bestimmen Sie die Lösung des Randwertproblems

\( y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{t}, \quad y(0)=y(1)=0 . \)

Mein Vorgehen war jetzt die Homogene DGL aufstellen, mit der homogenen Gleichung y_h(t) = (c₁ + c₂t)e^t

Partikuläre Lösung: y_p(t) = Ate^t , da komme ich dann auf A = 1/2 also y_p(t) = 1/2 te^t

Und am Ende komme ich dann auf y(t) = -1/2te^t

Bei WolframAlpha kommt ne ganz andere Lösung raus, habe ich bei dem Vorgehen irgendeinen Fehler gemacht welches Ergebnis wäre das richtige?

Answer 1

Hallo,

die homogene Lösung stimmt, der Ansatz für die part.Lösung ist falsch

richtig:

yp= t^2 *A *e^t (doppelte Resonanz, 1 ist doppelte Lösung)

siehe :

https://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Punkt 2, 2.Zeile

Comments

Also $$ \begin{aligned} & y_p(t)=A t^2 e^t \\ & y_p^{\prime}(t)=\left(2 A t+A t^2\right) e^t \\ & y_p^{\prime \prime}(t)=\left(2 A+4 A t+A t^2\right) e^t \end{aligned} $$

und damit: \(y_p(t)=\frac{1}{2} t^2 e^t\)

Dann komme ich am Ende auf \(y(t)=-\frac{1}{2} t e^t\ + \frac{1}{2} t^2 e^t\)

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yp stimmt

das Ergebnis auch