Aloha :)
Überlege dir zuerst einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte der Fläche \(F\) abtastet. Dabei ermittelst du insbesondere die nötigen Integrationsintervalle, die in deiner Rechnung fehlen. Beachte, dass alle Koordinaten \(\ge0\) sein müssen. Damit dies auch für die \(z\)-Koordinate gilt, muss gelten:$$z=1-x-y=1-(x+y)\stackrel{!}{\ge0}\implies(x+y)\le1$$Wir können also zunächst \(x\in[0;1]\) frei wählen, sind danach aber bei der Wahl von \(y\) auf das Intervall \([0;1-x]\) eingeschränkt :$$\vec r(x;y)=\begin{pmatrix}x\\y\\1-x-y\end{pmatrix}\quad;\quad x\in[0;1]\quad;\quad y\in[0;1-x]$$
Das Flächenelement \(d\vec f\) am Ort \(\vec r(x;y)\) lautet nun:$$d\vec f=\left(\frac{\partial \vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}\right)dx\,dy=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\,dx\,dy=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}dx\,dy$$
Das gesuchte Flussintegral über das Vektorfeld \(\vec v\) ist daher:$$\phi=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\begin{pmatrix}0\\x+y\\z=1-x-y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}(x+y+1-x-y)\,dx\,dy$$$$\phantom\phi=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\left[y\right]_{y=0}^{1-x}dx=\int\limits_0^1(1-x)\,dx=\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=1-\frac12=\frac12$$
