Kennt jemand einen Weg, diese Aufgabe zu lösen ohne Vorzeichentabelle und nicht graphisch?

Question

Ich habe folgende Ungleichung

x²-4x+3 < 0

Geben Sie die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung an.

Kennt jemand einen Weg, diese Aufgabe zu lösen ohne Vorzeichentabelle und nicht graphisch?

@Moliets, du hast ja immer so "spezielle" Lösungsmethoden. Wie kann man diese Aufgabe am schnellsten lösen, ohne jetzt eine Tabelle zeichnen zu müssen?

Oder ist es nicht möglich?

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Danke für dein Interesse! Ich werde morgen darauf antworten.

Answer 1

Geben Sie die Lösungsformel der quadratischen Gleichung an

Das kann nicht mal Chuck Norris, weil x²-4x+3 < 0 keine quadratische Gleichung ist.

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Da Moliets für diese nichtssagende Antwort

Danke für dein Interesse! Ich werde morgen darauf antworten.

immerhin sein Punktekonto aufgebessert hat, Majestät allerdings nicht geruht, heute schon sein quadratisch-ergänzen-Plattitüden unters Volk zu bringen, bringe ich dich auf die Sprünge.

Die quadratische Ungleichung

x²-4x+3 < 0

lässt sich umformen in

x²-4x+4 < 1

bzw.

(x-2)²<1.

Kommst du damit weiter?

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(x-2)² = x²-4x+3 das verstehe ich noch aber woher kommt die <1 jetzt her?

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(x-2)² = x²-4x+3 das verstehe ich noch

Also ich verstehe es nicht,

Meinem Kommentar ist zu entnehmen, dass (x-2)² = x²-4x+4 ist.

Ich hatte einfach bei der Ungleichung x²-4x+3 < 0

auf beiden Seiten 1 addiert.

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Wenn Du diese Gleichung verstehst, bist Du der Welt weit voraus. Du kennst alternative Fakten.

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Achso ich habe die +4 nicht gesehen, jetzt macht's mehr sinn.

Dann einfach Wurzel ziehen und nach x auflösen oder? Dann ist L (1;3) ??

@Mathhilf ist das so ein Ding bei dir alles zu schreiben aber nur nicht die Frage zu beantworten??

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Ja, ander als andere Leute, meine ich, dass man kleine Fehler mit einer Prise Humor und Ironie nehmen sollte. Ich versuche aber, mir  zu merken, dass Du das nicht so siehst.

Answer 2

x^2-4x+3 <0

(x-3)(x-1)<0

1. Fall:

x-3 <0 u. x-1>0

x<3 u. x>1

L=(1,3)

2.Fall:

x>3 u. x<1 (entfällt)

-> L= (1,3)

Es ist die Fläche zw. den Nullstellen einer Normalparabel.

https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E2-%2B4x%2B3%3C0

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Es ist die Fläche zw. den Nullstellen einer Normalparabel.

Es ist ein Intervall, keine Fläche.

Answer 3

Konntest du die Nullstellen der Gleichung x^2 - 4x + 3 = 0 bestimmen? Eine recht einfache Möglichkeit wäre Satz von Vieta oder pq-Formel.

Kontrolle: x = 1 ∨ x = 3

Da du eine verschobene nach oben geöffnete Normalparabel hast, sind die Funktionswerte zwischen den Nullstellen kleiner als Null.

Also erfüllt 1 < x < 3 die Ungleichung x^2 - 4x + 3 < 0.

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Wenn man die Lösungsmenge richtig angeben will muss dann dann diese umgedrehten Klammen nehmen L= ] 1 ;3 [

Weil bei genau 1 ist sie auf der x Achse und nicht kleiner oder?

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Richtig.

Du nimmst dann das offene Intervall, bei dem die Intervallgrenzen nicht mit zum Intervall zählen.

pq-Formel und der Satz von Vieta sind ein Begriff?

Answer 4

Aloha :)

$$x^2-4x+3<0\quad\big|\pink{+1}$$$$x^2-4x+3\pink{+1}<0\pink{+1}$$$$x^2-4x+4<1\quad\big|\text{2-te binomische Formel links}$$$$(x-2)^2<1\quad\big|\text{Wurzel ziehen}$$$$|x-2|<1\quad\big|\text{Betragsstriche "auflösen"}$$$$-1<x-2<1\quad\big|\pink{+2}$$$$-1\pink{+2}<x-2\pink{+2}<1\pink{+2}$$$$1<x<3$$

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Das mit den Farben ist schon schick. Das kann man noch weiter treiben:$$\begin{aligned} x^{2}-4x+3 &\lt 0 \\ x^{2}-2\cdot {\color{red}2}x+3 &\lt 0 \\ x^{2}-2\cdot {\color{red}2}x + \underbrace{{\color{red}2^2}-2^2}_{=0}+3 &\lt 0 \\ \left(x^{2}-2\cdot {\color{red}2}x + {\color{red}2^2}\right)-4+3 &\lt 0 \\ \left(x-{\color{red}2}\right)^2-1 &\lt 0 &&|\,+1\\ (x-2)^2 &\lt 1\\ |x-2| &\lt 1 \end{aligned}$$

Answer 5

Du faktorisierst einfach (Stichwort Vieta)

\(x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)\stackrel{!}{<}0\).

Und wenn du jetzt nicht sofort die Lösung ablesen kannst/willst oder einen umständlicheren Weg haben willst, dann ist dir nicht wirklich zu helfen. :-D

Natürlich kann man immer stumpfsinnig per quadratischer Ergänzung lösen.

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Und wenn du jetzt nicht sofort die Lösung ablesen kannst/willst oder einen umständlicheren Weg haben willst, dann ist dir nicht wirklich zu helfen. :-D

aus dieser Bemerkung schließe ich, dass Du Dich gar nicht mehr an Deine eigenen mathematischen Fähigkeiten erinnern kannst, als Du selbst 13 oder 14 Jahre alt warst.

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@Werner-Salomon
Fehlschluss! 😎

Answer 6

Danke für dein Interesse! Ich werde morgen darauf antworten. (Habe ich gestern um 22.00 Uhr geschrieben):

\(x^2-4x+3 < 0 |-3\)

\(x^2-4x <-3|+(\frac{4}{2})^2 \)

\(x^2-4x+(\frac{4}{2})^2 <-3+(\frac{4}{2})^2 \)

\(x^2-4x+4 <-3+4=1 \)

\((x-2)^2 <1 |\pm\sqrt{~~} \)

1.)

\(x-2 <1  \)

\(x_1 <3  \)

2.)

\(x-2 >-1  \)

\(x_2 >1 \)

Lösungsmenge:

\(1<x<3\)   oder auch \((1,3)  \)