1. Definition: Darstellung linearer Abbildungen vom \(\mathbb{K}^{\boldsymbol{n}}\) in \(\mathbb{K}^{m}\)
bezüglich der Standardbasen.
\(\begin{array}{l}{\text { Zu jeder linearen Abbildung } \varphi \text { von } \mathbb{K}^{n} \text { in } \mathbb{K}^{m} \text { gibt es eine }} \\ {\text { Matrix } \boldsymbol{A} \in \mathbb{K}^{m \times n} \text { mit } \varphi=\varphi_{A} . \text { Diese Matrix } A \text { ist gegeben }} \\ {\text { als }} \\ {\qquad A=\left(\left(\varphi\left(\boldsymbol{e}_{1}\right), \ldots, \varphi\left(\boldsymbol{e}_{n}\right)\right)\right) \in \mathbb{K}^{m \times n}}\end{array}\)
1. Problem:
Ich denke, dass sich die Matrix A so ergibt, indem ich eine Basis des IKn wähle und deren Basiselemente (geordnet) in eine Matrix einsetze und in dieser Matrix die Spaltenvektoren (welche die Basiselemente bilden) mit der Abbildungsvorschrift phi abbilde.
1. Frage
Stimmt das ?
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Jetzt kommt die zweite Definition bezüglich Koordinatenvektoren:
2. Definition: Der Koordinatenvektor bezüglich einer Basis B.
$$\begin{array}{l}{\text { Ist } B=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right) \text { eine geordnete Basis eines } \mathbb{K}-} \\ {\text { Vektorraums } V, \text { so besitzt jedes } v \in V \text { genau eine }} \\ {\text { Darstellung }} \\ {\qquad v=v_{1} b_{1}+\cdots+v_{n} b_{n}} \\ {\text { mit } v_{1}, \ldots, v_{n} \in \mathbb{K} . \text { Es heißt }_{B} v=\left(\begin{array}{c}{v_{1}} \\ {\vdots} \\ {v_{n}}\end{array}\right) \in \mathbb{K}^{n} \text { der Koordi- }} \\ {\text { natenvektor von } v \text { bezüglich } B .}\end{array}$$
Das habe ich verstanden.
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Jetzt kommt die dritte Definition:
3. Definition: Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung.
Man nennt die Matrix $$c M(\varphi)_{B}=\left(\left(c \varphi\left(b_{1}\right), \ldots, c \varphi\left(b_{n}\right)\right)\right) \in \mathbb{K}^{m \times n}$$
die Darstellungsmatrix von \(\varphi\) Bezüglich der Basen \(B\) und \(C.\)
3. Problem:
Ich denke, dass in dieser Darstellungsmatrix 3 der Basisvektor zuerst abgebildet wird und dann in einem zweiten Schritt bezüglich der Basis C ausgedrückt wird. So von Spalte zu Spalte.
3. Frage:
Kennt jemand eine Erklärung oder etwas das mir die obigen Sachverhalte klar machen kann ?
