Aloha :)
Wir müssen die Elemente aus \(B\)$$B_1=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad B_2=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad B_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$ durch die Abbildung \(L\) schicken$$L\colon\;\begin{pmatrix}a & b\\0 & c\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-a & -2a\\0 & 2a-b+2c\end{pmatrix}$$und die erhaltenen Bilder wieder mit den Elementen aus \(B\) darstellen:
$$L(B_1)=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$$$L(B_2)=\begin{pmatrix}-1 & -2\\0 & 2\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$$$L(B_3)=\begin{pmatrix}-1 & -2\\0 & 6\end{pmatrix}=7\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$
Nun haben wir eine "Komponentendarstellung" der Bilder bezüglich der Elemente aus \(B\) und können daraus die gesuchte Abbildungsmatrix ablesen:$$L=\begin{pmatrix}2 & 3 & 7\\0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
Rechne bitte nochmal nach, weil mich wundert, dass \(B_3\) gar nicht benötigt wird. Ich vermute, das war Absicht, damit man die Linearkombinationen einfacher erkennen kann.
