Aloha :)
Nach der Definition in der Aufgabenstellung sind die Basen von \(U_2\) bzw. \(U_3\):$$B2=\operatorname{Basis}(U_2)=(1,x,x^2)\quad;\quad B3=\operatorname{Basis}(U_3)=(1,x,x^2,x^3)$$
Die Abbildung \(f:\,U_3\to U_2\) leitet ein Polynom \(p\in U_3\) einfach nur ab, das heißt:$$a+bx+cx^2+dx^3\;\mapsto\; b+2cx+3dx^2$$Die linke Seite schreiben wir mit der Basis von \(U_3\), die rechte Seite mit der Basis von \(U_2\):
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}_{B3}\mapsto\begin{pmatrix}b\\2c\\3d\end{pmatrix}_{B2}=a\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}_{B2}+b\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_{B2}+c\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}_{B2}+d\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}_{B2}$$
Die Abbildungsmatrix für \(f\) lautet daher:$$A=M^{B3}_{B2}(f)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$$
Die Abbildung \(g:\,U_2\to U_3\) multipliziert ein Polynom \(p\in U_2\) mit \((x+1)\), das heißt:$$a+bx+cx^2\,\mapsto\,(x+1)\cdot(a+bx+cx^2)=a+(a+b)x+(b+c)x^2+cx^3$$Die linke Seite schreiben wir mit der Basis von \(U_2\), die rechte Seite mit der Basis von \(U_3\):
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}_{B2}\mapsto\begin{pmatrix}a\\a+b\\b+c\\c\end{pmatrix}_{B3}=a\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}_{B3}+b\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}_{B3}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}_{B3}$$
Die Abbildungsmatrix für \(g\) lautet daher:$$B=M^{B2}_{B3}(g)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Die Abbildungsmatrix der Hintereinanderausführung \(f\circ g\) erhalten wir durch Matrix-Multiplikation:
$$C=M^{B2}_{B2}(f\circ g)=A\cdot B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 2 & 2\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}$$
