Darstellungsmatrizen bestimmen; Ansatz fehlt

Question

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Gegeben seien der Vektorraum V:={A∈R^2,2|A obere Dreiecksmatrix} mit der Basis

B={

0	0
0	1

,

1	2
0	1

,

1	0
0	2

}

und eine lineare Abbildung L:V→V

a	b
0	c

→

-a	-2a
0	2a-b+2c

Aufgabe: Bestimme die darstellende Matrix von L bzgl. der Basis B.

Wie muss ich hier vorgehen?

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Wie muss ich hier vorgehen?

So wie es in Deinem Skript definiert ist:

Bestimme für die Basiselemente $B_i$ die Bilder $L(B_i)$. Bestimme die Koeffizienten für die Darstellung von $L(B_i)$ in der Basis B. Diese Koeffizienten bilden dann die i-te Spalte der gesuchten Matrix.

Natürlich kannst Du Dir überlegen, wie man diesen Vorgang technisch vereinfachen kann, aber hier ist es nicht sehr aufwändig.

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Okay, mich hatte nur die Matrix mit den Variablen verwirrt, aber ich habe es jetzt verstanden, ich muss die Werte dafür jeweils eingeben und gucken was für eine Matrix rauskommt und danach muss ich diese Matrix versuchen mit den anderen darzustellen. Dankeschön!

Answer 1

Aloha :)

Wir müssen die Elemente aus $B$$$B_1=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad B_2=\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad B_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$ durch die Abbildung $L$ schicken$$L\colon\;\begin{pmatrix}a & b\\0 & c\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-a & -2a\\0 & 2a-b+2c\end{pmatrix}$$und die erhaltenen Bilder wieder mit den Elementen aus $B$ darstellen:

$$L(B_1)=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$$$L(B_2)=\begin{pmatrix}-1 & -2\\0 & 2\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$$$L(B_3)=\begin{pmatrix}-1 & -2\\0 & 6\end{pmatrix}=7\cdot\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$

Nun haben wir eine "Komponentendarstellung" der Bilder bezüglich der Elemente aus $B$ und können daraus die gesuchte Abbildungsmatrix ablesen:$$L=\begin{pmatrix}2 & 3 & 7\\0 & -1 & -1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Rechne bitte nochmal nach, weil mich wundert, dass $B_3$ gar nicht benötigt wird. Ich vermute, das war Absicht, damit man die Linearkombinationen einfacher erkennen kann.

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Vielen Dank! Jetzt habe ich verstanden, wie man vorgehen muss. Sobald ich es nachgerechnet habe, werde ich mein Ergebnis hier posten :)

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Also ich habe die Matrix

2	3	1
0	-1	1
0	0	0

Ich weiß auch, wieso. Ich hatte mich bei der dritten Matrix von b vertan, als ich die Aufgabe hochgeladen habe.

Bei mir auf dem Zettel steht

-1	0
0	2

und nicht

1	0
0	2

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Prima, dass du die Rechnung dann mit der "richtigen" Matrix selbst nachvollziehen konntest.

Answer 2

Hallo

die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren

Gruß lul

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Vielen Dank!