Darstellungsmatrizen bezüglich anderer Basis

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array} { l } { \text { Sei } f : \mathbb { R } _ { 2 } [ x ] \rightarrow \mathbb { R } _ { 2 } [ x ] \text { eine lineare Abbildung, die bezüglich der geordneten Basis } } \\ { \qquad A = \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } \right) = \left( 1 , x , x ^ { 2 } \right) } \\ { \text { die folgende Darstellungsmatrix hat: } } \\ { \qquad A M ( f ) _ { A } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \text { Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix } _ { B } M ( f ) _ { B } \text { von } f \text { bezüglich der geordneten Basis } } \\ { \qquad B = \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } \right) = \left( x - x ^ { 2 } , 1 + 2 x + x ^ { 2 } , 1 + 3 x + x ^ { 2 } \right) } \end{array} $$

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand erklären wie diese Notation zu lesen ist und durch welche Schritte ich auf bM(f)B komme?

Vielen Dank im Voraus. Die Matrizen für A und B hab ich bereits herausgeschrieben.

Answer 1

Hallo

 was heisst du hast die Matrizen für B bereits "heraus"geschrieben?  du hast die Matrix der Abbildungsmatrix f für die Basis A die sagt dass x^2 nach 1, x nach x und 1 nach x^2 abgebildet wird.

Wohin wird dann zB. x-x^2 abgebildet? nach x-1 jetzt musst du x-1 als Kombination der bi hinschreiben, also

x-1=a*(x^2-x)+b(1+2x+x^2)+c*(1+3x+x^2) dann ist (a,b,c) die erste spalte der gesuchten Matrix.

oder du stellst die bi durch die ai dar  und multiplizierst MA mit der Matrix.

Gruß lul

Comments

Ich habe die Basis bereits als Matrix heraus geschrieben.

Aber wie lese ich z.B ausgesprochen:  $$ _B M ( f ) _ { B } $$ ?

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Hallo

 wie kann man eine Basis als Matrix schreiben, bzw. was soll die Matrix denn darstellen?

Du liest das als Darstellungsmatrix der Abbildung f von  der Basis b in die Basis b. d.h. in den Spalten stehen die Bilder der bi als Vektoren in der Basis B.

Gruß lul