Dimensionsformel für Unterräume Untervektorräume Bestimmen Sie den Bereich....

Question

Hallo,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!

Aufgabe:

1)
Seien U, W Untervektorräume des R¹¹ mit dim(U) = 3 und dim(W) = 10.
Bestimmen Sie den Bereich, in dem dim(U ∩ W) liegen kann, indem Sie eine möglichst genaue untere und obere Schranken angeben. Begründen Sie ihr Vorgehen.

2)
Seien U, V Untervektorräume des R⁵ mit dim(U) = 3 und dim(V) = 4. Kann unter diesen
Voraussetzungen dim(U ∩ V) = 1 gelten?

Ansatz:

Die Dimension von U ∩ W ( dim(U ∩ W)) Kann mit der Dimensionsformel bestimmt werden:

Dim(U₁ ∩ U₂) + Dim(U₁ + U₂) = Dim(U₁) + Dim(U₂)

In diesem fall sind U₁  und U₂ Untervektorräume U und W, weil U und W untervektorräume des R¹¹ sind, kann dim(U + W)
Maximal 11 sein. Daher ergibt sich für Dim(U ∩ W):

Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W) = 3 + 10 -11 =2

Dies ist die obere Schranke. Die untere Schranke ist 0, da der Durchschnitt von zwei Untervektorräumen immer mindestens den Nullvektor enthält. Daher liegt dim(U∩W) im Bereich von 0 bis 2.

2)

Ja, es ist möglich:

es gilt : dim(U ∩ V) = 1
gilt genauso, wenn: dim(U) = 3
und bei: dim(V) = 4 auch

Dies liegt daran, dass der Durchschnitt von zwei Untervektorräumen selbst ein Untervektorraum ist. Daher kann die Dimension des Durchschnitts in dem Fall U ∩ V jeden Wert von 0 bis min(dim(u); dim(v)) annehmen, in diesem Fall also Werte von 0 bis 3. Daher ist es möglich, dass dim(U ∩ V) = 1

Answer 1

Dies ist die obere Schranke. Die untere Schranke ist 0, da der Durchschnitt von zwei Untervektorräumen immer mindestens den Nullvektor enthält. Daher liegt dim(U∩W) im Bereich von 0 bis 2.

Das stimmt wohl nicht so ganz.

Es ist ja sicherlich W auch ein Unterraum von V+W , also gilt

10 ≤dim(V+W)≤13. Damit erhältst du auch Schranken für Dim(U ∩ W).

Analog dazu ist in 2 nur dim(U+V)=4 oder dim(U+V)=5 möglich.

In beiden Fällen ist Dim(U ∩ W)≠1.