Question

Welche der folgenden Mengen U_i sind Untervektorräume der Vektorräume V_i? Berechnen Sie in diesen Fällen auch deren Dimension.

(a) V₁ := ℝ⁵, U₁ := {p ∈ ℝ⁵| ||p|| = 1}.

(b) V₂ := ℝ⁴, U₂ := {(x, y, z, w) ∈ ℝ⁴| x + y + z + w = 0, w = 0}.

(c) V₃ := ℝ³, U₃ := {p ∈ ℝ³| <p,(1, 2, 3)^t> = 0.

(d) V₄ := ℝ⁴, U₄ := {(x, y, z, w) ∈ ℝ⁴| (x + y) · (x − y) = 0}.
(e) V₅ := ℝ[x]_≤3 = {ax³ + bx² + cx + d | a, b, c, d ∈ ℝ}, U₅ := {p ∈ ℝ[x]_≤3 | b + d =0, a + c = 0}.

Comments

Ein Blick in die Definition ist zwar aufwendig, aber hilfreich.

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Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie in diesen Fällen auch deren Dimension.

Stichworte: vektorraum

Aufgabe:

Welche der folgenden Mengen U i sind Untervektorräume
der Vektorräume V i ? Berechnen Sie in diesen Fällen auch deren Dimension.

Problem/Ansatz:

(a) V 1 := R 5 , U 1 := {p ∈ R 5 | ||p|| = 1}.
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(b) V 2 := R 4 , U 2 := {(x,
n y, z, w) ∈ R | x + y + o z + w = 0, w = 0}.
(c) V 3 := R 3 , U 3 := p ∈ R 3 | hp, (1, 2, 3) t i = 0 .
(d) V 4 := R 4 , U 4 := {(x, y, z, w) ∈ R 4 | (x + y) · (x − y) = 0}.
(e) V 5 := R[x] ≤3 = {ax 3 + bx 2 + cx + d | a, b, c, d ∈ R}, U 5 := {p ∈ R[x] ≤3 | b + d =
0, a + c = 0}.

Answer 1

Hallo

 untersuche jeweils : wenn p und q in U sind also der Bedingung genügen ist dann auch r*p und p+q  in U?

z.B a nein den aus |p|=1 folgt |r*p|=|r|*|p|=r≠1

b) ja, leicht nachzuweisen

c) nein wieder einfach ein Gegenbeispiel  jetzt mit der Summe von 2 Vektoren

d) ja

Gruß lul