Sei K ein Körper. Welche der folgenden Mengen V sind K-Vektorräume?

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Welche der folgenden Mengen V sind K-Vektorräume? Begründen Sie Ihre Antwort.

(a) (V, +) ist eine nicht-triviale abelsche Gruppe, sodass kv = 0V , ∀k ∈ K, ∀v ∈ V .

(b) K = C und V = R hoch n , sodass za := | z|a, ∀z ∈ C, ∀a ∈ R hoch n.

(c) K = R und V = {f ∈ Abb(R, R) | f(x) = f(−x), ∀x ∈ R}.

(d) K = R und V = { (r, 1 − r, r + 2, 0) ∈ R^4 | r ∈ R }.

Answer 1

c) ist ein Unterraum von Abb(R;R).

Denn wenn f,g ∈ V und a∈K=R sind , dann gilt für alle x∈R

(f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = (f+g)(-x)

und (af)(x) = a*f(x) = a*f(-x) = (af)(-x) also sind

f+g   und af aus V und somit ist es ein Unterraum von Abb(R,R).

d) ist keiner; denn es sind  (1, 0, 3, 0) und  (2,− 1, 4, 0)

in V, aber deren Summe nicht .

Bei a) gibt es wohl Probleme mit dem VR-Axiom  1*v = v für alle v∈V.