Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume?

Question

Aufgabe:

Welche der Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume:

a) \( V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right): x_{1}=2 x_{2}=3 x_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \);

b) \( V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right): x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=0\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \);
c) \( V_{3}=\left\{\left(\mu+\lambda, \lambda^{2}\right): \mu, \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \);
d) \( V_{4}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right): x_{1} \geq x_{2}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \);
e) die Lösungsmenge \( \mathrm{L} \subset C^{1}(\mathbb{R}) \) der Differentialgleichung \( y^{\prime \prime}(t)+t^{2} y(t)=e^{t} \).

Problem/Ansatz:

Also es muss ja geltn, das der Untervektorraum keine leere Menge ist, und Addition und Skalaremultiplikation möglich ist.

Ich bin da jetzt so ran gegangen, ist das richtig?

a)

b)

Text erkannt:

a) \( \quad V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right): x_{1}=2 x_{2}=3 x_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \)
1. Bedingung \( U \notin \phi \) exfillt, da der Nullvehtor Teil des Unterraumes ist.
2. Bedingung \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}u \\ v \\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x \\ 2 x \\ 3 x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}u \\ 2 u \\ 3 v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+u \\ 2 x+2 u \\ 3 x+3 u\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+v \\ 2(x+u) \\ 3(x+v)\end{array}\right) \in V_{1} \)
3. Bedingung \( \lambda \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\lambda \cdot\left(\begin{array}{c}x \\ 2 x \\ 3 x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x \\ 2 \lambda x \\ 3 \lambda x\end{array}\right) \in V_{1} \)
\( \rightarrow \) ist ein Untervehtorraum des angegebenen Vehtorraums

b)

Text erkannt:

b) \( \quad V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right): x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=c\right\} c \mathbb{R}^{2} \)
1. Bedingung Nulelement ist drin
2. Bedingung \( \left(\begin{array}{l}x^{4} \\ y^{4}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}u^{4} \\ z^{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x^{4}+u^{4} \\ y^{4}+z^{4}\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{l}(x+v)^{4} \\ (4+z)^{4}\end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{l}x^{4}+u^{4} \\ y^{4}+z^{4}\end{array}\right) \notin v_{2} \)
Bsp. \( \quad\left(\begin{array}{l}2^{4} \\ 3^{4}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}5^{4} \\ 6^{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2^{4}+5^{-4} \\ 3^{4}+6^{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}641 \\ 1377\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{l}7^{4} \\ 9^{4}\end{array}\right) \)
\( \rightarrow \) ist kein Untervehtorraum des angegebenen Vehtarraums.

c)

Text erkannt:

c) \( \quad V_{3}=\left\{\left(\mu+\lambda_{1} \lambda^{2}\right): \mu_{1} \lambda \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^{2} \quad\left(\begin{array}{c}\mu+\lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right) \)
1. Bedingung: Dee Untervehtorraum ist nicht leer, da das Nullelement teil des Raumes ist.
2. Bedingung: \( \quad\left(\begin{array}{c}x+y \\ y^{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}z+w \\ w^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x+y+z+w \\ y^{2}+w^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(x+z)+(y+w) \\ y^{2}+w^{2}\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{c}(x+z)+(y+w) \\ (y+w)^{2}\end{array}\right) \) Bsp. \( \quad\left(\begin{array}{c}1+2 \\ 2^{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3+4 \\ 4^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+6 \\ 2^{2}+4^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+6 \\ 20\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{c}4+6 \\ 36\end{array}\right) \)
\( \rightarrow \) ist kein Untervehtorraum des angegebenen Vehtorraums.

d)

Text erkannt:

d) \( \quad V_{4}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right): x_{1} \geq x_{2}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \)
1. Bedingeng Nollelement ist enthalten
2. Bedingung
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} v \\ v \\ w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x+v \\ y+v \\ z+w \end{array}\right) \\ \text { da } x \geq y \quad 1+v \\ \text { mit } x \geq y \quad x \neq y \\ \end{array} \)
3. Bedingung
\( \begin{array}{l} \lambda \cdot\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} \lambda x \\ x y \\ \lambda z \end{array}\right) \quad \text { da } x \geq y \quad 1 \cdot \lambda \\ \text { mit } \lambda \geq 0 \\ \gamma\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \gamma x \\ \gamma y \\ \gamma z \end{array}\right) \quad d a \quad x \geq y \quad 1 \cdot \gamma \\ \end{array} \)
mit \( \gamma<0 \)
\( \gamma x \leq \gamma y \rightarrow \) für \( x>y \) gilt \( \gamma x<\gamma y \)
\( \rightarrow \) nicht Teil des Veliforraums
\( \rightarrow \) ist kein Vektorraum des angegebenen Vektorraums

e), hier habe ich leider keine Idee, ich denke erstmal die DGL lösen, oder? Wie mache ich dann weiter?

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Answer 1

b) \(V_2\) ist ein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^2\). Aus

        \( \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \in V_2\)

folgt \(x_1 = x_2 = 0\).

c) Zu \(V_3\) ist

        \(\begin{pmatrix}1+2 \\ 2^{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3+4 \\ 4^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+6 \\ 2^{2}+4^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+6 \\ 20\end{pmatrix} \neq\begin{pmatrix}4+6 \\ 36\end{pmatrix}\)

das einzige, was du sagen musst. Dagegen ist die Ungleichung

        \(\begin{pmatrix}(x+z)+(y+w) \\ y^{2}+w^{2}\end{pmatrix} \neq\begin{pmatrix}(x+z)+(y+w) \\ (y+w)^{2}\end{pmatrix} \)

nicht allgemeingültig. Zum Beispiel ist die Ungleichung für \(w=x=y=z=0\) ungültig.

d) Gleiches gilt für \(V_4\). Um zu zeigen, dass \(V_4\) kein Untervektorraum ist, brauchst du nicht jeden Grund angeben, warum \(V_4\) vielleicht doch ein Untervektorraum sein könnte. Es reicht, sich auf einen Grund zu beschränken, warum \(V_4\) kein Untervektorraum ist. Und der ist \(\gamma < 0\). Mache daraus ein Beispiel mit konkreten Zahlen so wie du das auch bei \(V_3\) gemacht hast.

e) Du brauchst die DGL nicht zu lösen. Prüfe ob die Nullfunktion die DGL erfüllt. Falls ja, dann prüfe ob die Summe zweier Lösungen der DGL ebenfalls eine Lösung der DGL ist. Falls ja, dann prüfe ob Vielfache einer Lösung der DGL ebenfalls Lösungen der DGL sind.