Aufgabe:
a.) {(x1,x2,x3)T ∈ R3 | x1 = x2 = 2x3}⊆ R3
b.) {(x1,x2)T ∈ R2 | (x1)2 + (x2)4 = 0}⊆ R2
c.) {(µ + λ,λ2)T ∈ R2 | µ,λ ∈ R}⊆ R2
d.) {(x1,x2,x3) ∈ R3 | x1 ≥ x2}⊆ R3
Problem/Ansatz:
Hallo ich wollte mal wissen ob ich diese Aufgaben richtig gelöst habe.
Zu allerst muss man wissen wie ein Untervektorraum definiert ist. Es muss folgendes gelten.
1. UVR (Untervektorraum) ≠∅
2. abgeschlossen in der Addition: ∀\( \vec{a} \), \( \vec{b} \) ∈ U: \( \vec{a} \)+ \( \vec{b} \) ∈ U
3. abgschlossen in der Multiplikation: a ∈ K, \( \vec{x} \) ∈ U: a*\( \vec{x} \) ∈U
Ist eins davon nicht erfüllt ist es kein UVR mehr.
Ich bin nun wie folgt ran gegangen an die Aufgabe.
a.) {(x1,x2,x3)T ∈ R3 | x1 = x2 = 2x3}⊆ R3
zu 1) Da der Nullvektor (0,0,0) eingesetzt 0=0=2*0 ist, ist die Bedinung 1 nach Definition erfüllt.
zu 2) U1= (x11,x21,x31) U2=(x12,x22,x32) = ( x11+ x12, x21+x22, x31+x32)
dort habe ich nun das "x" jeweils raus gekürzt und in die Voraussetzung eingesetzt so das da steht.
x1(1+1)=x2(1+1)=2x3(1+1) was bedeutet das auch hier die Definition erfüllt ist, da ∈ U.
zu 3) da wähle ich mir ein λ, sei λ=3 dann gilt 3*(x1,x2,x3) was zu folgenden führt (3x1=3x2=2*3x3)
Somit sind alle Bedinungen der Definition erfüllt weshalb Aufgabe a) ein UVR darstellt.
b) {(x1,x2)T ∈ R2 | (x1)2 + (x2)4 = 0}⊆ R2
zu 1) Auch hier ist wieder der Nullvektor enthalten daher ist die Bedingung erfühlt
zu 2) hier komme ich zu dem Entschluss das wenn ich für x1=-1 und für x2=1 dan ist die Voraussetzung erfühlt aber für andere Zahlen nicht. Daher kann ich hier schon aufhören, weil alle Bedinungen erfühlt werden müssen. daher ist Aufgabe b) kein UVR.
d.) {(x1,x2,x3) ∈ R3 | x1 ≥ x2}⊆ R3
Hier habe ich es mir sehr leicht gemacht, hoffe ich habe da nicht falsch geschluss folgert.
zu 1) ist selbst verständlich wieder erfühlt da gilt 0≥0
zu 2 und 3) Da man x3 beliebig wählen kann weil es für die Bedinung nicht vorgeschrieben ist muss man ein x1 und x2 wählen was die Bedingung erfühlt, damit es ein UVR ist. Ist die Bedinung nicht erfühlt ist es logischer weiße kein UVR.
Bei Aufgabe c) würde ich sagen das es sich auch um einen UVR handelt, da die Summe aus μ+λ enthalten ist muss auch μ,λ selbst in der Menge sein. das selbe gilt wenn λ2 in der Menge liegt muss auch λ selbst in der Menge liegen. Daher handelt es sich bei Aufgabe c) um einen UVR.
Ich hoffe meine Ansätze sind richtig, falls ich was falsch gemacht habe wäre ich über eine korrektur sehr dankbar.
