In ii) wie kann ich die Positiv Definitheit beweisen:
W = R[x]≤n. Sei a f∈W\{0}. Dann ist zu zeigen <f,f>0
Es gibt \((a_0,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \) mit \( f(x)= \sum\limits_{i=0}^n a_ix^{i}\)
und wegen f≠0 ist jedenfalls ein ai≠0. Und die i-te Ableitung von aixi an der
Stelle a ungleich 0 und damit deren Quadrat positiv.
Dann berechne <f,f> = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} \)
in der Summe sind alle Summanden Quadrate, also ≥0
und der 0-te ist jedenfalls >0, also auch <f,f> > 0.
Mit den Bezeichnungen von
https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens
hast du doch w1=1 , w2=x, w3=x^2 , ... wn+1=x^n.
Und als erstes musst du bestimmen \( v_1 = \frac{w_1}{||w_1||} \)
Und du berechnest:
\( ||w_1|| = \sqrt{<w_1,w_1>} = \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} }\)
Nun sind ja die Ableitungen des konstanten Polynoms 1 alle gleich 0
nur \(f^0(a)=1\). Damit ist die Summe = 1 .
Also \( ||w_1|| = \sqrt{1} = 1 \). Und damit \( v_1 = \frac{w_1}{||w_1||} = 1 \)
Also weiter mit v2 :
Wenn man wie bei Wikipedia vorgeht \( v_2' =w_2 - <v1,w2>\cdot v_1 \)
Also erstmal <v1,w2> bestimmen \( <v_1,w_2> = \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a).g^k(a)} \)
mit f=1 und g=x. Da bleibt von der Summe nur \( 1 \cdot a + 0 \cdot 1 = a \)
Also \( v_2' =x - a \cdot 1 = x-a \),
Das muss man nun normieren, also ||x-a|| ausrechnen.
Das gibt \( ||v_2'|| = \sqrt{<x-a,x-a>} = \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} }\)
mit f=x-a, also f '=1 und f ' ' =0. Dann gibt die Summe
(a-a)*(a-a) + 1*1 + Nullen = 1 und wegen √1 = 1 hat man:
\( v_2 =\frac{x - a} {1} \cdot 1 = x-a \).
Nun versuche mal v3 .