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Aufgabe: Sei n ∈ N und a ∈ R. Sei V der Vektorraum der n-fach stetig differenzierbaren Funktionen ℝ → ℝ. Fur f ∈ V und k≤n sei f(k) die k-te Ableitung von f. Fur ¨ f, g ∈ V definieren wir ⟨f, g⟩ :=\( \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a).g^k(a)} \)
(i) Zeige. dass ⟨·, ·⟩ eine symmetrische, positiv-semidefinite Bilinearform ist. Gib außerdem
(abhängig von a und n) ein f ∈ V mit f ̸= 0 aber ⟨f, f⟩ = 0 an.
(ii) Sei W der Unterraum der Polynome uber ¨ R vom Grad maximal n, also W = R[x]≤n. Zeige,
dass ⟨·, ·⟩ ein Skalarprodukt auf W × W ist.
(iii) Bestimme eine Orthonormalbasis von W bezuglich dieses Skalarproduktes. ¨
(iv) Zeige, dass es fur jedes Element ¨ f ∈ V genau ein p ∈ W gibt, so dass f − p ∈ W⊥. Tipp:
Versuche ein lineares Gleichungssystem mit den Koeffizienten der Polynome aufzustellen.
(v) Sei T : V → W mit F(f) = p wobei p die zu f passende Funktion aus (iv) ist. Zeige, dass
T linear ist. Bestimme außerdem T(exp) und T(sin) fur ¨ a = 0.


Problem/Ansatz: In ii) wie kann ich die Positiv Definitheit beweisen und in iii) sollte ich das Gram Schmidt Verfahren für die Standardbasis (1,x,x^2,....x^n) anwenden

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In ii) wie kann ich die Positiv Definitheit beweisen

Zunächst liest Du die Aufgabe noch einmal sorgfältig. Dann schreibst Du hin, was Du zeigen sollst ....

Also in i) habe ich schon bewiesen , dass ⟨·, ·⟩ symmetrische und positiv semidefinite bilinearform ist , aber für den beweis des skalarprodukts in ii) muss noch bewiesen werden dass die Linearität gilt und für ein polynom p ∈ W gilt ⟨p, p⟩ = 0 => p = 0 ?

Entschuldigung, war mit den Teilaufgaben durcheinandergekommen.

Wenn für ein Polynom vom Höchstgrad n gilt <p,p>=0, dann sind doch alle Ableitungen von p an der Stelle a gleich 0. Was folgt denn dann für die n-te Ableitung von p?

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In ii) wie kann ich die Positiv Definitheit beweisen:

W = R[x]≤n. Sei a f∈W\{0}. Dann ist zu zeigen <f,f>0

Es gibt  \((a_0,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \) mit \(  f(x)= \sum\limits_{i=0}^n a_ix^{i}\)

und wegen f≠0 ist jedenfalls ein ai≠0. Und die i-te Ableitung von aixi an der

Stelle a ungleich 0 und damit deren Quadrat positiv.

Dann berechne <f,f> = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} \)

in der Summe sind alle Summanden Quadrate, also ≥0

und der 0-te ist jedenfalls >0, also auch <f,f> > 0.

Mit den Bezeichnungen von

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

hast du doch w1=1 , w2=x, w3=x^2 , ... wn+1=x^n.

Und als erstes musst du bestimmen \(  v_1 = \frac{w_1}{||w_1||}  \)

Und du berechnest:

 \(  ||w_1|| = \sqrt{<w_1,w_1>} = \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} }\)

Nun sind ja die Ableitungen des konstanten Polynoms 1 alle gleich 0

nur  \(f^0(a)=1\). Damit ist die Summe = 1 .

Also \(  ||w_1|| = \sqrt{1} = 1 \). Und damit \(  v_1 = \frac{w_1}{||w_1||} = 1 \)

Also weiter mit v2 :

Wenn man wie bei Wikipedia vorgeht \(   v_2' =w_2 - <v1,w2>\cdot v_1 \)

Also erstmal <v1,w2> bestimmen \(  <v_1,w_2> = \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a).g^k(a)} \)

mit f=1 und g=x. Da bleibt von der Summe nur \( 1 \cdot a + 0 \cdot 1 = a \)

Also \(  v_2' =x - a \cdot 1 = x-a \),

Das muss man nun normieren, also ||x-a|| ausrechnen.

Das gibt \(  ||v_2'|| = \sqrt{<x-a,x-a>} = \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{n}{f^k(a)\cdot f^k(a)} }\)

mit f=x-a, also f '=1    und f ' ' =0. Dann gibt die Summe

         (a-a)*(a-a) + 1*1 + Nullen =   1  und wegen √1 = 1 hat man:

\(  v_2 =\frac{x - a} {1} \cdot 1 = x-a \).  

Nun versuche mal v3 .

Avatar von 289 k 🚀
und wegen f≠0 ist jedenfalls a0≠0.

Das habe ich nicht verstanden: f(x)=x ist nicht die Null-Funktion, aber a_0=0?

Das war auch falsch, es muss heißen:

jedenfalls eines der ai≠0. Und bei dem ist dann die

i-te Ableitung an der Stelle a ungleich 0, also deren Quadrat >0.

Ich korrigiere das.

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