Zeige, dass für v, w ∈ V (V euklidisch oder unitär) folgende Aussagen geleten:

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) euklidisch oder unitär und \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) eine Orthonormalbasis. Zeige, dass für \( v, w \in V \) und \( I \subseteq\{1, \ldots, n\} \) gilt:
\( \sum \limits_{i \in I}\left|v \cdot v_{i}\right|^{2} \leq\|v\|^{2} \quad \text { und } \quad v \cdot w=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(v \cdot v_{i}\right)\left(v_{i} \cdot w\right) \text {. } \)

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, ob ich hierbei den richtigen Ansatz verfolge??:

Kann ich bei der ersten Aussage mit dem Besselsche Ungleichung argumentieren? - für die zweite Aussage habe ich mir gedacht:

\( v=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(v \cdot v_{i}\right) v_{i} \) und \( w=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(w \cdot v_{i}\right) v_{i} \) die Darstellung von \( v \) und \( w \) bezüglich der Orthonormalbasis. Das Skalarprodukt \( v \cdot w \) ist dann:
\( \begin{array}{l} v \cdot w=\left\langle\sum \limits_{i=1}^{n}\left(v \cdot v_{i}\right) v_{i}, \sum \limits_{j=1}^{n}\left(w \cdot v_{j}\right) v_{j}\right\rangle \\ =\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left(v \cdot v_{i}\right) \overline{\left(w \cdot v_{j}\right)}\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \end{array} \)

Da die Basis orthonormal ist, ist \( \left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle \) gleich null für \( i \neq j \) und gleich 1 für \( i=j \).
\( =\sum \limits_{i=1}^{n}\left(v \cdot v_{i}\right) \overline{\left(w \cdot v_{i}\right)}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(v \cdot v_{i}\right)\left(v_{i} \cdot w\right) \)

Ist mein Vorgehen bzw. der Ansatz richtig?

Answer 1

Dein Vorgehen für den zweiten Teil ist fast korrekt. Du müsstest nur konsequent ein Symbol für das Skalarprodukt nehmen:

\((v\cdot w)\) oder \(\langle v,w\rangle\)

Zum 1. Teil:

Du sollst hier eigentlich die "endlichdimensionale" Besselungleichung zeigen. Ein klassischer Beweis ist zum Beispiel hier.

Falls du aber schon orthogonale Projektionen in unitären Räumen hattest, kannst du die Ungleichung auch so zeigen:

Sei \(U = \operatorname{span}\left(\{v_i\,:\, i \in I\}\right)\).

Die orthogonale Projektion von \(v\in V\) auf \(U\) ist

\(\displaystyle P_U v = \sum_{i\in I}( v\cdot v_i) v_i\)

Damit haben wir

\(\left\| P_U v \right\|^2 = \sum \limits_{i \in I}\left|v \cdot v_{i}\right|^{2}\)

Andererseits kann \(v\) in eine direkte orthogonale Summe zerlegt werden:

\(v= P_U v + (v-P_Uv)\) mit \( P_U v \perp (v-P_Uv) \)

Also

\(\left\| v\right\|^2 = \left\| P_U v\right\|^2 + \left\| v- P_U v\right\|^2 \geq \left\| P_U v\right\|^2\)

Fertig.

Comments

@trancelocation:

Danke dir vielmals für deine Hilfe und die gute Erklärung :)

LG Euler