Zeige, dass die gegebene Basis eine Orthonormalbasis des R³ ist.

Question

Aufgabe: Gegeben sei die Basis {w1,w2,w2} des R³ mit:

w1= \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , w2= \( \frac{1}{5} \)*\( \begin{pmatrix} 0\\3\\-4 \end{pmatrix} \) , w3= \( \frac{1}{5} \)*\( \begin{pmatrix} 0\\-4\\-3 \end{pmatrix} \)

umgestellt also w1= \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , w2=\( \begin{pmatrix} 0\\3/5\\-4/5 \end{pmatrix} \) , w3= \( \begin{pmatrix} 0\\-4/5\\-3/5 \end{pmatrix} \)

Zeige, dass die gegebene Basis eine Orthonormalbasis des R³ ist. 
Stell anschließend den Vektor x= (2/3/4)^T als Linearkombination der obigen Vektoren w1,w2,w3 dar.

Problem/Ansatz:

Ich habe, um die Orthonormalbasis zu bekommen das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet aber kam dadurch nur wieder auf die selben 3 Vektoren und nicht auf neue.

Ich habe keinen Ahnung wie ich die Aufgabe weiter angehen soll und stehe komplett auf dem Schlauch.

Hoffe jemand hier kann mit weiterhelfen. 
Vielen dank schon mal im Voraus.

Comments

Hallo,

denke nochmal über die Bedeutung des Satzes

"Zeige, dass die gegebene Basis eine Orthonormalbasis des R³ ist."

nach.

Gruß

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Hallo Peter, danke für deinen Tipp. 
Also wenn ich es richtig verstehe, war dann mein Ansatz bzw. Lösung mit dem Gram-Schmidt Verfahren dann doch richtig ? 
Gruß J. ^^

Answer 1

Hallo,

die Basis \( W = \lbrace{w_1, w_2, w_3\rbrace} \) von \( \mathbb{R}^3 \) ist doch eine Orthonormalbasis, wenn jeder Basisvektor die Norm 1 hat und die Basisvektoren paarweise orthogonal sind, d.h. \( \langle w_i, w_j \rangle = 0 \) (hier) für alle \( i,j \in \lbrace{1, 2, 3\rbrace} \) mit \( i \neq j \).

Prüfe das doch für die gegebene Basis W.

Comments

Wäre das nicht das Gram-Schmidt Verfahren dann ?

Mein W1 hat ja schon die Länge 1 und damit dann die anderen ermitteln oder nicht ?

Gruß J.

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Du sollst doch nur zeigen, dass W eine Orthonormalbasis ist. Wieso willst du dann das ganze Gram-Schmidt-Verfahren noch anwenden.

Zeige doch, dass \( || w_1 || = || w_2 || = || w_3 || = 1 \) und die Vektoren paarweise orthogonal sind.

Damit ist dann gezeigt, dass W eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^3 \) ist.

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Vielen Dank! 
Dein letzter Tipp hat mir wirklich sehr weitergeholfen :) 
Ich hab mit dem Betrag der einzelnen Vektoren gezeigt, dass alle die Länge 1 haben und dann mit dem Skalarprodukt paarweise die Orthogonalität gezeigt :)