Koordinatendarstellung einer Spiegelung bzgl. einer Orthonormalbasis

Question

Aufgabe:

Sei (A1,A2) eine Orthonormalbasis in der Ebene mit Ursprung O. Zu berechnen sei die Koordinatendarstellung einer Spiegelung f bzgl. der Orthonormalbasis. Die Spiegelungsachse ist g(O,X)

Für X gilt:

1) $$X = A_{i} $$ mit i=1,2

2) $$X = A_{1}-A_{2}$$

Ansatz:

Sowie ich das verstehe muss ich also für einen beliebigen Punkt P eine Koordinatendarstellung für f(P) finden. Als Koordinatendarstellung bzgl. (A1,A2) hätt ich gewählt:

$$f(P) = x \cdot A_{1}+y \cdot A_{2}$$

zu 1) Wenn jetzt also X = A1 ist bedeutet, dass das die Spiegelungsachse g(O,A1) ist. Wie stelle ich das jetzt in der von mir ausgewählten Koordinatendarstellung dar? Ich spiegle ja im Prinzip entlang einer der Orthogonalachsen. Für X=A2 folgt es dann schätz ich mal analog.

zu 2) Wenn ich $$X = A_{1}-A_{2}$$ habe ich ja im Prinzip X in meiner Koordinatendarstellung dargestellt mit x = 1 und y = -1 oder? d.h eine Spiegelung entlang g(O,X) wäre in diesem Fall dann einfach eine Umkehrung der Vorzeichen oder?

zeichnerisch versteh ich dieses Beispiel sehr gut leider steck ich bei den Rechnungen bzw. Koordinatendarstellungen fest.

mfg & Danke

~ Tsubasa

Answer 1

Nehmen wir doch konkret A1=e1 und A2=e2 Einheitsbasis

>zeichnerisch versteh ich dieses Beispiel sehr gut

Na ja, wenn die Zeichnung kein Problem ist - dann kannst Du die KO doch ablesen...

Comments

hey danke für deine Antwort,

das Problem ist ich muss ja eine Koordinatendarstellung für eine Spiegelung entlang der g(O,X) Geraden aufstellen und ich check nicht wie ich das konkret mach.

Also für X = A1 bzw. X = A2 ist es mir glaub ich mittlerweile klar ich spiegel da ja einfach nur entlang der Orthogonalachsen. Also erhalt ich für einen Punkt P als f(P) einfach

f(P) = x*A1+(-1)*y*A2

bzw. f(P) = (-1)*x*A1+y*A2

je nachdem ob X = A1 oder A2

Aber ich check nicht wie ich eine für jeden Punkt gültige Koordinatendarstellung für eine Spiegelung mit zb X = A1-A2 mache. Dann wäre X ja ein Punkt im rechten unteren Sektor des Koordinatensystems (weil A1 = (1,0) und A2 = (0,1) dh. X = (1,-1) )  und es würde sich bei einer Spiegelung eines Punktes P an der Spiegelungsachse g(O,X)  ja sowohl x als auch y ändern.  Ich weiß nun nur nicht wie ich das generalisiert darstellen soll.

Weißt du was ich mein? Wenn ich mir das nämlich aufzeichne sieht das so aus:

Text erkannt:

\( x= \)

Ich brauch also eine für beliebige P gültige Formel für f(P)

mfg,

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Schlampige Zeichnung die Spiegelachse e1-e2 verläuft über die Diagonale des KO - siehe meine Zeichnung.

Allgemein bildet man die Basisvektoren ab und hat damit die Matrix als Spalten der Bildvektoren. Hier einfach gucken

Spiegelungsachse ist g(O,e1-e2) -> (1,-1)

A(1,2) → A'(-2,-1)

S_e1-e2=\( \small \left(\begin{array}{rr}0&-1\\-1&0\\\end{array}\right)\)

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omg ich fühl mich grad so dumm jetzt check ichs danke nochmal für den extra Denkanstoß

lg.

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d.h allgemein definiert wird ein Punkt P = (x,y) unter dieser Spiegelung zu (-y,-x) transformiert. Also quasi P = -y*e1+-x*e2

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Hm, auf was willst Du hinaus?

Wenn Du die Spiegelung rechnerisch herleiten willst, dann musst Du eine Abbildung senkrecht zur Spiegelgeraden

x+y=0 ==> Normalenvektor n=(1,1)

P'=P - (2 * (n * P) / n^(2)) * n

vornehmen...

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Hey ich quasi darauf hinaus, dass ich für einen beliegen Punkt P mit der Koordinatendarstellung: x*A1+y*A2 eine allgemein gültige Koordinatendarstellung für den Bildpunkt f(P) habe. Also das ich quasi nur mehr x und y von P einsetzen muss in die Darstellung und ich erhalte die Koordinatendarstellung für f(P).

Ich kann das für eine Spiegelung irgendwie schlecht erklären aber wenn ich zb eine Translation hätte die die X Koordinate von einen Punkt P = x*A1+y*A2 um 4 verschiebt könnt ich für ein beliebiges P diese Darstellung für f(P) anfertigen: (x+4)*A1+y*A2

und sowas würde ich halt für diese Spiegelung gerne anfertigen

Danke vielmals

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Also ich versuchs mal:

Die koordinatenmäße Darstellung einer Spiegelung (lin.Abbildung) ist eine Matrix. In so einfachen Fällen wie die Spiegelung über die Achsen eventuell einfach ablesbar. In unübeschaubaren Fällen musst Du die Basisvektoren abbilden und die Bilder beschreiben dann die Abbildungsmatrix, z.B. A.

f(P)=f((x,y))=A (x,y)

Wenn Du einen Punkt (x,y) betrachtest, dann ist das eine abkürzende Schreibweise der allgemeinen Darstellung P=x e1 + y e2 -> Punktkoordinaten zur Basis {e1,e2}. Du darfst also jeden Punkt bezüglich einer beliebigen Basis so schreiben - ist bloß nicht besonders übersichtlich.

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Perfekt jetzt kenn ich mich schon mehr aus danke!!
und die Basisvektoren muss ich dann wie genau abbilden? im Fall von dem Beispiel hab ich ja dann e1 = (1,0) und e2 = (0,1) Wenn ich diese dann spiegel erhalte ich ja logischerweise (0,-1) und (-1,0) . Als Matrix ergibt das dann $$\small \left(\begin{array}{rr}0&-1\\-1&0\\\end{array}\right)$$

und für einen beliebigen Punkt rechne ich dann quasi diese Matrix mal den Punkt

hab ich das so richtig verstanden?

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Yep, das sieht gut aus.

Nehmen wir einen unübersichtlichen Fall:

Wenn Du, sagen wir, eine Spiegelung an der Gerade g:7/2x-y=0 vornimmst, erhältst Du eine Matrix

siehe >... auf was willst Du hinaus?... <

\(\small S_g \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-\frac{45}{53}&\frac{28}{53}\\\frac{28}{53}&\frac{45}{53}\\\end{array}\right)\)

P' = S_g P

P(2,1) -> P'(-62/53, 101/53)

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Perfekt hab das Thema jetzt voll verstanden

Danke vielmals!!