was eine Orthonormalbasis ist, weißt du bestimmt. Daher ist die eine Richtung klar:
"\(\Rightarrow\)"
Sei \(x \in V\) fest aber beliebig und \(w \in W\). Dann ist \(x \perp w \Leftrightarrow \langle x,w \rangle = 0\). Wir betrachten die vom Skalarprodukt erzeugte Norm. Dies ist zulässig, da man sich in einem euklidischen Raum stets eine solche Norm induzieren kann. Dann ist \(\|x+w\|^2=\langle x+w,x+w \rangle = \langle x,x \rangle + \langle x,w \rangle + \langle w,x \rangle + \langle w,w \rangle=\|x\|^2+\langle x,w \rangle+\overline{\langle x,w \rangle}+\|w\|^2\). Da nach Voraussetzung \(x \perp w\) und \(w\) normiert ist, gilt:
\(\|x+w\|^2=\langle x+w,x+w \rangle = \|x\|^2+1\).
Hieraus wird ersichtlich, dass \(x \perp W \Rightarrow x =0\). Warum das folgt, solltest du in einem Satz noch einmal kurz erläutern.
"\(\Leftarrow\)"
Sei \( (w_i)_{ i \in I}\) ein Orthonormalsystem des Vektoraums. Dann sind die jeweiligen Vektoren in jedem Fall paarweise linear unabhängig. (Dies sollte an dieser Stelle, wenn nicht vorher schon, jetzt bewiesen werden). Aus der linearen Abhängigkeit zweier Vektoren folgt ihre Kollinearität, die im Skalarprodukt berücksichtigt leicht erkennbar werden lässt, dass für vom Nullvektor verschiedene Vektoren ein Widerspruch erzeugt wird. Da wir den Nullvektor voraussetzen folgt mit dem Basisergänzungssatz die Aussage \(\square\)
