Fuer welche x, y, z, t ∈ ℝ ist eine Matrix ∈ O(4)?

Question

Aufgabe:

Fuer welche x, y, z, t ∈ ℝ ist

1/2 * \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & x \\ 1 & -1 & -1 & y \\ 1 & 1 & -1 & z \\ 1 & 1 & 1 & t \end{pmatrix} \) ∈ O(4)?

Problem/Ansatz:

Eine orthogonale Gruppe ist ja definiert durch A * A^T = E_n. Wie gehe ich nun vor? Danke im Voraus.

Answer 1

Die Spalten müssen orthogonal zueinander sein. Das ist erfüllt, wenn das Skalarprodukt paarweise verschiedener Spalten gleich 0 ist. Das Skalarprodukt der Spalten mit sich selbst muss 1 ergeben (die Spalten bilden eine Orthonormalbasis). Stelle die Bedingungen dafür auf und löse dann das resultierende Gleichungssystem nach den Unbekannten auf.

Comments

Ich erhalte dann ein LGS mit 3 Gleichungen. Es gibt dann einen Freiheitsgrad, kann ich mir dann einfach eine Lösung aussuchen? Im Kontext dieser Aufgabenstellung wird ja eine allgemeine Lösung aus den reelen Zahlen gesucht…

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Die Spalte muss dann auch den Betrag 1 haben. Das liefert dir eindeutige Werte.

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Meinst du die Gleichung x² + y² + z² + t² = 1?

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Ja genau. Du hast also kein LGS.

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@euker08

Schau dir mal die schon gegebenen Spaltenvektoren der Matrix an. Die sind orthogonal zueinander (Skalarprodukt gleich null).

Diese Orthogonalität kommt dadurch zustande, dass man an den Vorzeichen der 1er "herumspielt."

Das \(\frac 12\) vor der Matrix sorgt dafür, dass diese Vektoren normiert sind (also die Länge 1 haben). Ist dir das klar?

Als letzter Vektor fehlt also nur noch einer, der auch senkrecht auf den anderen steht und die Länge 1 hat.

Wie sieht der wohl aus???

Spiele mal mit den Vorzeichen herum.

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ich habe 4 Gleichungen (a=Spalte): (a4*a4) 0,25x²+0,25y²+0,25z²+0,25t²=1, (a1*a4) 0,25x+0,25y+0,25z+0,25t=0, (a2*a4) -0,25x-0,25y+0,25z+0,25t=0, (a3*a4) 0,25x-0,25y-0,25z+0,25t=0.

Stimmt das? wenn ja wie löse ich dann das Gleichungssystem?