Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz prüfen

Question

Aufgabe:

auf Konvergenz Überprüfen:

a)

k

∑ (((-n)^3)+((2n)^2)-5)/(((5n)^3)-((3n)^2)+(2n)-3))

n=1

b)

k

Σ ((cos(2n)+2*sin(n))/5^(1+n)) 

n=1

Problem/Ansatz:

Bei b) habe ich überhaupt Ahnung, was ich machen soll.

Bei a) würde ich n^3 im Zähler und Nenner ausklammern: (n^3(-1+(2/n)-(5/n^3)))/(n^3(5-(3/n)+(2/n^2)-(3/n^2)) . n^3 kann ja nun gekürzt werden. Die Frage ist nun, wie fahre ich fort? Muss ich nun die Grenzwerte Zähler und Nenner bestimmen? Diese wären: (-1+0-0)/(0+0+0)), aber man darf ja nicht durch 0 teilen. Ich habe echt keine Ahnung, was ich nun machen soll?
Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Hallo

in a, ja, durch n^3 teilen aber dann steht im Nenner ja für n->oo nicht 0 sondern 5^3, also bilden die Summanden keine Nullfolge!

b) |sin(a)¡ und |cos(b)| <=1  also kannst du eine konvergente Majorante finden.

Gruß lul

Comments

Für a) habe ich dann (-1+(2/n)-(5/(n^3)))/(5-(3/n)+(2/(n^2))-(3/(k^3)).

Also komme ich hier auf (-1+0-0)/(5-0+0-0) = -(1/5),

somit konvergiert die Reihe, wenn ich richtig liege.

Für b) habe ich: -1<=sin<=1 und -1<=cos<=1, auch: -1<=cos(2n)<=1 ?

hier habe ich dann das Majorantenkriterium angewendet: (2*1+1)/((3^n)*3), da erhielt ich dann (1/3) * 3/(3^n), was wiederum 3/3 * 1/(3^n) ist und somit der geometrischen Reihe (1/3)^n entspricht. Da der Startwert bei 1 lag hab ich noch (1/3)^0 abgezogen und kam auf: 1/(1-(1/3)) - (1/3)^0 = 1/2

Somit konvergiert b) gegen 1/2. Stimmt das?

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Hallo

zu1.Die notwendige Bedingung, dass eine Reihe konvergiert ist dass die Summanden eine Nullfolge bilden.

zu 2.m post wurde durch 5ⁿ⁺¹ geteilt? jetzt 3?? Du hast die Summanden vergrößert, und dann eine konvergente Majorane gefunden die konvergiert, Aber damit hast du doch nicht den Summenwert?

Gefragt war ja auch nur nach Konvergenz nicht nach dem Grenzwert!

lul

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Entschuldige, im Post sollte es 3 statt 5 heißen.

Also bei a) ist es ja dann so, dass diese Reihe nicht konvergiert, da a_n keine Nullfolge ist, sondern den Grenzwert - (1/5) besitzt. Das habe ich korrigiert.

Bei b) habe ich ja dann die Majorante (2*1+1)/((3^n)*3). Warum ich das so annehme habe ich oben beschrieben. Da diese den Grenzwert 1/2 besitzt und somit konvergiert, müsste doch auch die andere Reihe konvergieren oder nicht?

Ich hätte sonst keine andere Idee...

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Hallo

der GW der Majorante spielt keine Rolle, bis auf einen Faktor hat man die geometrische Reihe mit q^m =(1/3)^n  es macht keinen Sinn diesen GW zu berechnen.

Gruß lul

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Hmm...

Könntest du mir auf die Sprünge helfen. Ich stehe auf dem Schlauch.

Mein letzter Ansatz wäre, dass ich das 3^n alleine im Nenner stehen lasse. Weil wenn der Nenner ja kleiner wird, wird der gesamte Bruch größer. Dass ich dann am Ende (2*1+1)/3^n hätte. Am Ende würde ja dann 3/3^n stehenbleiben und das wäre ja größer als die ursprüngliche Folge. Diese Folge konvertiert, somit konvertiert ja auch die ursprüngliche Folge.

Ich weiß sonst nicht, wie ich das MK anwenden soll.

Bitte um Hilfe