Ja, es reicht aus, dass \(ab=a\) für ein \(a\in G\) gilt, um \(b=e\) zu folgern, und dein Beweis ist korrekt, sofern du in jedem Schritt angibst, was du tust.
Wenn du als Zusatz noch einmal als "Sanity Check" sichergehen willst, dass \(b\) wirklich die Eigenschaft des neutralen Elements besitzt:
Für alle \(x\in G\) gilt: \(bx = ebx = (a^{-1}a)bx = a^{-1}(ab)x = a^{-1}ax=ex=x\). Wir brauchen nur ein \(a\), um diese Rechnung für beliebiges \(x\) zu machen.
Ein Bonus, den du vielleicht einmal brauchen wirst, wenn du dich mehr mit Gruppen beschäftigst: Die Multiplikation mit einem Gruppenelement definiert eine Selbstbijektion \(g^*:G\to G\), gegeben durch \(g^*(x):=gx\). Eine Kollektion solcher Bijektionen (für jedes \(g\in G\) eine Bijektion \(M\to M\) für eine Menge \(M\)), die sich mit der Gruppenoperation verträgt (also mit der Eigenschaft, dass \((gh)^*=g^*\circ h^*\), wobei \(\circ\) Verknüpfung von Funktionen ist) nennt sich \(G\)-Wirkung oder \(G\)-Operation auf \(M\). Das obere Beispiel ist die sogenannte "kanonische Wirkung von \(G\) auf sich selbst". Was du oben bewiesen hast, ist dass für \(g\neq e\) die Wirkung von \(g\) keinen Fixpunkt besitzt, also es existiert kein \(x\in G\) mit \(g^*(x)=x\). Jeder Punkt wird also irgendwo anders hinbewegt, kein Element wird festgelassen (außer bei \(e^*\), das ist einleuchtenderweise immer die Identitätsfunktion). Die kanonische Wirkung von \(G\) auf sich selbst ist also eine sogenannte freie Wirkung, das hat viele weitreichende Konsequenzen. Zum Beispiel ist jede endliche Gruppe mit Ordnung \(n\) eine Untergruppe der Permutationsgruppe auf \(n\) Elementen \(S_n\), und die Einbettung ist einfach die kanonische Wirkung. Genau so kannst du den Satz von Lagrange folgern, nämlich dass die Ordnung einer Untergruppe ein Teiler der Ordnung der ursprünglichen Gruppe ist, indem du die kanonische Wirkung untersuchst.
