Lineare Algebra Gruppen.

Question

Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe da die Verknüpfung unbekannt ist und die Elemente von M ebenfalls unbekannt sind

Aufgabe:

Sei M eine Menge, |M| ≥ 2. Folgende Verknüpfung ist definiert:

*l: M X M → M

(a,b) ›→a * l b := a

Aufgabe: überprüfen Sie ob (M, *l) eine Gruppe ist und welche Axiome erfüllt werden.

Wie geht man an die Aufgabe heran ?

Danke für die Tipps im voraus!

Answer 1

Abgeschlossenheit ✓

assoziativ (a * l b)  * l c=  a * l c = a

       a * l ( b) * l c)  =   a * l b = a also ✓

neutrales El. n wäre eines mit

         (a * l n) = a  und (n * l a) = n für alle a.

Da M mehr als ein El. hat, gilt das nicht.

Dann kann es auch keine inversen Elemente geben.

Comments

Hallo!

Danke für Ihr Antwort aber ein paar Fragen habe ich noch:

1. Warum gilt die Abgeschlossenheit? Wir wissen nicht aus welchen Elementen M besteht.

2. Was bedeutet das "l" nach der Verknüpfung?

3. Inwiefern spielt die Anzahl der Elemente eine Rolle?

Vielen Dank und entschuldige die vielen Fragen!

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1. Warum gilt die Abgeschlossenheit? Wir wissen nicht aus welchen Elementen M besteht.

Das Ergebnis der Verknüpfung von a und b (Die sind beide aus M,

weil dort  M X M → M steht.) ist das a, also aus M

2. Was bedeutet das "l" nach der Verknüpfung?

  *l   ist einfach das (aus 2 Teilen bestehende) Zeichen
                für die Verknüpfung

3. Inwiefern spielt die Anzahl der Elemente eine Rolle?

Ist wichtig für

neutrales El. n wäre eines mit

      (a * l n) = a und (n * l a) = n für alle a.

Würde M nur aus einem Element bestehen,

wäre nur möglich

(a * l a) = a und (a * l a) = a für alle a.

Dieses wäre also das neutrale El. und dann

auch zu sich selbst invers, dann wäre (M , *| )

eine Gruppe.