(G, ◦) ist genau dann eine Gruppe, wenn die Gleichungen a ◦ x = b und y ◦ a = b für alle a, b ∈ G eindeutig lösbar sind.
G Gruppe und a aus G ⇒ a besitzt ein Inverses,
also a ◦ x = b ⇔ x = a-1 ◦ b
und y ◦ a = b ⇔ x = b◦ a-1
also beide Gleichungen eindeutig lösbar.
umgekehrt: G mit assoziativer Verknüpfung
und die Gleichungen a ◦ x = b und y ◦ a = b für ¨ sind für alle a, b ∈ G eindeutig lösbar.
zu zeigen: G besitzt neutrales El und zu jedem ein inv.
da zu jedem a aus G a ◦ x = a eind. lösbar ist, ist die Lösung x=e das (rechts)neutr. El.
mit a*e=a für alle a aus G
dann ist für alle b aus G auch x*b = b eind. lösb., also existiert ein (links)neutrales El. f
mit f*b = b für alle b aus G , also auch
f*e = e und wegen des ersten f*e=f Also f=e .
und zu jedem a aus G gibt es ein Inverses, da
a ◦ x = e eindeutig lösbar gibt es ein rechtsinverses a~
also mit a ◦ a~ = e und da
x*a = e eindeutig lösbar gibt es ein linksinverses a-
also a- ◦ a = e .
Dann ist (a- ◦ a) ◦ a~ = e ◦ a~ = a~
und a- ◦( a ◦ a~) = a- ◦ e = a-
und weil die linken Seiten gleich sind
a~ = a- .
Also gibt es zu jedem a ein Inverses.
G ist eine Gruppe.
